A. Điều Kiện Để Hàm Số Bậc Nhất Đồng Biến, Nghịch Biến
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a và b là các hằng số và a ≠ 0. Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số này phụ thuộc hoàn toàn vào hệ số a:
- Hàm số đồng biến trên R (tập số thực) khi và chỉ khi a > 0. Điều này có nghĩa là, khi x tăng, giá trị của y cũng tăng theo.
- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi a < 0. Khi x tăng, giá trị của y giảm.
B. Bài Tập Vận Dụng (Có Giải Chi Tiết)
Để hiểu rõ hơn về hàm số đồng biến và nghịch biến, chúng ta hãy cùng nhau giải một số bài tập điển hình.
Bài 1: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) y = 3x + 2
b) y = -2x + 5
c) y = (1/2)x – 1
d) y = -x – 4
Giải:
a) y = 3x + 2 có a = 3 > 0. Vậy, hàm số đồng biến trên R.
b) y = -2x + 5 có a = -2 < 0. Vậy, hàm số nghịch biến trên R.
c) y = (1/2)x – 1 có a = 1/2 > 0. Vậy, hàm số đồng biến trên R.
d) y = -x – 4 có a = -1 < 0. Vậy, hàm số nghịch biến trên R.
Bài 2: Tìm điều kiện của k để các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến:
a) y = (k + 2)x – 1 (đồng biến)
b) y = (3 – k)x + 4 (nghịch biến)
Giải:
a) Hàm số y = (k + 2)x – 1 đồng biến khi k + 2 > 0, suy ra k > -2.
b) Hàm số y = (3 – k)x + 4 nghịch biến khi 3 – k < 0, suy ra k > 3.
Bài 3: Tìm k để hàm số sau là hàm số bậc nhất và đồng biến:
y = (k² – 1)x + 2
Giải:
Để y = (k² – 1)x + 2 là hàm số bậc nhất, ta cần k² – 1 ≠ 0, tức là k ≠ 1 và k ≠ -1.
Để hàm số đồng biến, ta cần k² – 1 > 0. Điều này xảy ra khi k < -1 hoặc k > 1.
Kết hợp cả hai điều kiện, ta có k < -1 hoặc k > 1.
Bài 4:
Tìm k để các hàm số sau:
a, y= 5x – (2-x)k đồng biến, nghịch biến.
b, y= (k2 – 4)x – 2 đồng biến.
c, y= (-k2 + k – 1)x – 7 nghịch biến.
d, y= (4 – 4k + k2)x + 2 đồng biến.
Hướng dẫn giải
a, y= 5x – (2-x)k = 5x – 2k + k.x = (5+k)x – 2k
Vậy hàm số có hệ số a= 5+k. Khi đó:
+ Hàm số đồng biến a > 0 ⇔ 5 + k > 0 ⇔ k > -5
+ Hàm số nghịch biến a < 0 ⇔ 5 + k < 0 ⇔ k < -5
Ảnh minh họa cách giải bài tập tìm điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất lớp 9.
Bài 5: Với những giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất?
a, y= mx – 2(x-m)
b,
c,
d, y= (m2 – 3m + 2)x2 + 2(m-2)(m+1)x – 3m – 2.
Hướng dẫn giải
a) Hàm số y = mx – 2(x-m) = (m-2)x + 2m có hệ số a=m-2.
Vậy hàm số y = mx – 2(x-m) là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2.
b)
c)
d)
Bài 6: Cho hàm số . Với gía trị nào của m thì :
a, Hàm số đã cho là hàm bậc nhất
b, Hàm số đã cho đồng biến
c, Hàm số đã cho nghịch biến
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho có hệ số a= 3 – √(m+2).
a, Hàm số đã cho là hàm bậc nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ 3 – √(m+2) ≠ 0 ⇔ √(m+2) ≠ 3
⇔ m + 2 ≠ 9 ⇔ m ≠ 7
Vậy m ≠ 7
b, Hàm số đã cho đồng biến khi a > 0 ↔ 3 – √(m+2) > 0 ⇔ √(m+2)
⇔ 0 ≤ m + 2
Vậy -2 ≤ m
c, Hàm số đã cho nghịch biến khi a 3
⇔ m + 2 >; 9 ⇔ m > 7
Vậy m > 7
C. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm bậc nhất? Hãy xác định hệ số a, b và xét xem hàm số nào đồng biến, nghịch biến?
a) y = 1 – 5x
b) y = 2x−1+3
c) y = 2×2 + 3
d) y = 2x−1+3
Bài 2. Tìm điều kiện của tham số m để các hàm số là hàm số bậc nhất?
a) y = (7m – 3)mx + 5m;
b) y = 2m−3−x+4;
c) y = 4−3m2m+5x+2.
Bài 3. Cho hàm số bậc nhất y = (2m2 + 5m + 7)x + m. Chứng minh với mọi giá trị của m hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và đồng biến.
Bài 4. Cho hàm số bậc nhất y = (– 3m2 – 6 + 7m)x + m. Chứng minh với mọi giá trị của m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và nghịch biến.
Bài 5. Cho hàm số bậc nhất . Hãy tìm các giá trị của m để:
a) Hàm số đã cho là hàm bậc nhất;
b) Hàm số đã cho đồng biến;
c) Hàm số đã cho nghịch biến.
Lời Kết
Hiểu rõ về hàm số đồng biến và nghịch biến là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên, các em sẽ tự tin giải quyết mọi bài tập liên quan đến chủ đề này. Chúc các em học tốt!
