Để giải quyết các bài toán liên quan đến việc tìm tham số để Hàm Số đạt Cực Tiểu Tại một điểm, chúng ta cần nắm vững kiến thức về đạo hàm và điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn đọc có thể dễ dàng áp dụng.
Phương Pháp Giải Tổng Quát
Khi làm bài tập tìm tham số m để hàm số y = f(x, m) đạt cực tiểu tại x₀, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện cần.
- Tính đạo hàm bậc nhất y’ = f'(x, m) của hàm số.
- Để hàm số đạt cực tiểu tại x₀, điều kiện cần là y'(x₀) = 0. Giải phương trình này để tìm ra các giá trị có thể của tham số m.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ.
Có hai cách phổ biến để kiểm tra điều kiện đủ:
-
Cách 1: Sử dụng đạo hàm bậc hai.
- Tính đạo hàm bậc hai y” = f”(x, m) của hàm số.
- Thay các giá trị m tìm được ở Bước 1 vào y”.
- Nếu y”(x₀) > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x₀. Giá trị m này thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Nếu y”(x₀) < 0, hàm số đạt cực đại tại x₀. Loại giá trị m này.
- Nếu y”(x₀) = 0, cần xét thêm bằng cách khác (ví dụ, lập bảng biến thiên).
-
Cách 2: Lập bảng biến thiên.
- Với mỗi giá trị m tìm được ở Bước 1, lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x, m).
- Dựa vào bảng biến thiên, xác định xem hàm số có đạt cực tiểu tại x₀ hay không.
Bước 3: Kết luận.
- Các giá trị m thỏa mãn cả điều kiện cần và điều kiện đủ chính là các giá trị cần tìm.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
Giải:
- Bước 1:
- y’ = 3x² – 6mx + m² – 1
- y'(2) = 0 => 3(2)² – 6m(2) + m² – 1 = 0 => m² – 12m + 11 = 0 => m = 1 hoặc m = 11
- Bước 2:
- y” = 6x – 6m
- Với m = 1: y”(2) = 6(2) – 6(1) = 6 > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
- Với m = 11: y”(2) = 6(2) – 6(11) = -54 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
- Bước 3: Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Hình ảnh minh họa: Đồ thị hàm số với đường tiếp tuyến nằm ngang tại điểm cực trị, thể hiện điều kiện y’ = 0.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x³ + (m+3)x² – (m² + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.
Giải:
- Bước 1:
- y’ = -3x² + 2(m + 3)x – (m² + 2m)
- y'(2) = 0 => -3(2)² + 2(m + 3)(2) – (m² + 2m) = 0 => -12 + 4m + 12 – m² – 2m = 0 => m² – 2m = 0 => m = 0 hoặc m = 2
- Bước 2:
- y” = -6x + 2(m + 3)
- Với m = 0: y”(2) = -6(2) + 2(0 + 3) = -6 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
- Với m = 2: y”(2) = -6(2) + 2(2 + 3) = -2 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
- Bước 3: Vậy m = 0 và m = 2 là các giá trị cần tìm.
Hình ảnh minh họa: Biểu thức đạo hàm bậc nhất y’ của một hàm số bậc ba, được sử dụng để xác định điểm cực trị.
Hình ảnh minh họa: Biểu thức đạo hàm bậc hai y” của một hàm số, được sử dụng để kiểm tra điều kiện đủ của cực trị.
Hình ảnh minh họa: Quá trình giải một phương trình bậc hai để tìm các giá trị có thể của tham số m trong bài toán cực trị.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho hàm số y = (1/3)x³ – mx² + (m² – m + 1)x + 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Bài 2: Cho hàm số y = (1/3)x³ + (m² – m + 2)x² + (3m² + 1)x + m – 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
Hình ảnh minh họa: Thiết lập biểu thức đạo hàm bậc nhất tại x = -2 bằng 0 để tìm tham số m.
Bài 3: Cho hàm số y = (1/3)x³ – (m+1)x² + (m² + 2m)x + 1. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 4: Tìm m để hàm số y = (m-1)x⁴ – (m² – 2)x² + 2016 đạt cực tiểu tại x = -1.
Hình ảnh minh họa: Các nghiệm của phương trình đạo hàm bằng không, biểu thị các điểm tiềm năng để xét cực trị.
Bài 5: Tìm m để hàm số y = x³/3 + (2m – 1)x² + (m – 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 6: Tìm m để hàm số y = mx³ + 2(m – 1)x² – (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 7: Tìm m để hàm số y = x – 1/(x+m) đạt cực tiểu tại x = 1.
Hình ảnh minh họa: Đạo hàm bậc nhất y’ của một hàm số phân thức, cần thiết để tìm điểm cực trị.
Hình ảnh minh họa: Áp dụng điều kiện cần y'(1) = 0 để thiết lập phương trình tìm giá trị tham số m.
Hình ảnh minh họa: Đạo hàm bậc hai y” của một hàm số phân thức để kiểm tra điều kiện đủ của cực trị.
Bài 8: Tìm m để hàm số y = (2x + m)/(x – 1) đạt cực đại tại x = -1.
Hình ảnh minh họa: Đạo hàm bậc nhất y’ của một hàm số hữu tỷ, cần thiết để tìm điểm cực trị.
Hình ảnh minh họa: Áp dụng điều kiện cần y'(-1) = 0 để thiết lập phương trình tìm giá trị tham số m.
Hình ảnh minh họa: Quá trình giải phương trình để tìm giá trị tham số m sau khi đã thiết lập điều kiện cần.
Kết Luận
Việc tìm tham số để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và luyện tập các bài tập vận dụng, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự trong các kỳ thi. Chúc các bạn học tốt!
