1. Định Nghĩa Đa Thức
Đa thức là một biểu thức đại số được tạo thành từ tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng được gọi là một hạng tử của đa thức. Hiểu một cách đơn giản, đa thức là sự kết hợp của các biến và hệ số, được liên kết với nhau bằng các phép toán cộng, trừ và nhân, với số mũ của các biến là các số nguyên không âm.
Ví dụ: Các biểu thức sau là các đa thức:
- ({x^3} – 3)
- (xyz – a{x^2} + by)
- (aleft( {3xy + 7x} right))
Biểu tượng minh họa khái niệm đa thức, nhấn mạnh bản chất là tổng các đơn thức.
Nhận xét quan trọng:
- Mọi đa thức đều là một biểu thức nguyên.
- Một đơn thức cũng được xem là một đa thức đặc biệt.
2. Thu Gọn Đa Thức
Thu gọn đa thức là quá trình biến đổi đa thức về dạng tối giản nhất, trong đó không còn hai hạng tử nào đồng dạng. Các hạng tử đồng dạng là những hạng tử có cùng phần biến. Quá trình thu gọn giúp đơn giản hóa biểu thức và làm cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.
Các bước thực hiện thu gọn đa thức:
Bước 1: Xác định và nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau.
Bước 2: Thực hiện phép cộng hoặc trừ các hệ số của các đơn thức đồng dạng trong mỗi nhóm.
Ví dụ minh họa: Thu gọn đa thức sau:
(P = dfrac{1}{3}{x^2}y + x{y^2} – xy + dfrac{1}{2}x{y^2} – 5xy – dfrac{1}{3}{x^2}y)
Giải:
(P = dfrac{1}{3}{x^2}y + x{y^2} – xy + dfrac{1}{2}x{y^2} – 5xy – dfrac{1}{3}{x^2}y)
( = left( {dfrac{1}{3}{x^2}y – dfrac{1}{3}{x^2}y} right) + left( {x{y^2} + dfrac{1}{2}x{y^2}} right) + left( { – xy – 5xy} right))
( = dfrac{3}{2}x{y^2} – 6xy)
Biểu tượng cho thấy việc thu gọn đa thức bằng cách nhóm và rút gọn các đơn thức đồng dạng.
3. Bậc của Đa Thức
Bậc của một đa thức là bậc lớn nhất của các hạng tử trong đa thức đó, sau khi đa thức đã được thu gọn. Bậc của một hạng tử là tổng số mũ của tất cả các biến trong hạng tử đó. Đa thức không (số 0) là trường hợp đặc biệt và không có bậc.
Lưu ý quan trọng:
- Để xác định bậc của một đa thức, cần thu gọn đa thức đó trước.
- Bậc của một hằng số khác 0 là 0.
Ví dụ:
- Đa thức ({x^6} – 2{y^5} + {x^4}{y^5} + 1) có bậc là 9 (do hạng tử ({x^4}{y^5}) có bậc cao nhất là 4 + 5 = 9).
- Đa thức (dfrac{3}{2}x{y^2} – 6xy) có bậc là 3 (do hạng tử (dfrac{3}{2}x{y^2}) có bậc cao nhất là 1 + 2 = 3).
Biểu tượng minh họa cách tìm bậc của đa thức bằng cách xác định bậc cao nhất của các hạng tử.
Các Dạng Toán Thường Gặp Về Hàm Số Đa Thức
Dạng 1: Nhận biết đa thức:
- Phương pháp: Dựa vào định nghĩa của đa thức, kiểm tra xem biểu thức có phải là tổng của các đơn thức hay không.
Dạng 2: Thu gọn đa thức:
- Phương pháp: Thực hiện theo các bước đã nêu ở trên: nhóm các đơn thức đồng dạng và cộng/trừ các đơn thức đồng dạng.
Dạng 3: Tìm bậc của đa thức:
- Phương pháp: Thu gọn đa thức (nếu cần) và xác định bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đã thu gọn.
