1. Định Nghĩa Hàm Loga
Hàm Logarit là hàm số nghịch đảo của hàm số mũ. Với cơ số a dương và khác 1, hàm logarit có dạng:
- (y = log_a(x))
Trong đó:
- a là cơ số của logarit ((a > 0, a ne 1))
- x là biến số (x > 0)
- y là giá trị của hàm số logarit
2. Tính Chất Của Hàm Loga (y = log_a(x)) ((a > 0, a ne 1))
-
Tập xác định: (D = (0; +infty)) (Tập hợp các số thực dương)
-
Tập giá trị: (T = mathbb{R}) (Tập hợp các số thực)
-
Đạo hàm: (y’ = frac{1}{x ln a}) với mọi (x in (0; +infty))
Ý nghĩa: Đạo hàm của hàm loga cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.
-
Chiều biến thiên:
- Nếu (a > 1): Hàm số đồng biến trên ((0; +infty))
- Nếu (0 < a < 1): Hàm số nghịch biến trên ((0; +infty))
Ý nghĩa: Chiều biến thiên cho biết hàm số tăng hay giảm khi x tăng.
-
Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
-
Đồ thị:
- Luôn cắt trục hoành tại điểm (1; 0)
- Luôn đi qua điểm (a; 1)
- Nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung.
Ý nghĩa: Hình ảnh minh họa rõ ràng tính chất đồng biến của hàm logarit khi cơ số lớn hơn 1, đồng thời thể hiện đường tiệm cận đứng là trục Ox.*
Ý nghĩa: Hình ảnh minh họa tính nghịch biến của hàm logarit khi cơ số nằm giữa 0 và 1, đường tiệm cận đứng là trục Oy.*
3. Các Tính Chất Quan Trọng Của Logarit
- (log_a(1) = 0)
- (log_a(a) = 1)
- (log_a(x cdot y) = log_a(x) + log_a(y))
- (log_a(frac{x}{y}) = log_a(x) – log_a(y))
- (log_a(x^n) = n cdot log_a(x))
- (log_a(x) = frac{log_b(x)}{log_b(a)}) (Công thức đổi cơ số)
4. Ứng Dụng Của Hàm Loga
Hàm loga có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau:
- Toán học: Giải các phương trình và bất phương trình mũ và logarit.
- Vật lý: Tính độ lớn của âm thanh (decibel), đo độ pH trong hóa học.
- Tin học: Phân tích độ phức tạp của thuật toán (O(log n)).
- Tài chính: Tính lãi kép, giá trị hiện tại và tương lai của dòng tiền.
- Địa chất: Đo độ Richter của động đất.
- Thiên văn học: Tính độ sáng của các ngôi sao.
Ý nghĩa: Hình ảnh này minh họa sự đa dạng trong ứng dụng của hàm số mũ và logarit, từ khoa học tự nhiên đến các lĩnh vực kỹ thuật và kinh tế.*
5. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Giải phương trình (log_2(x + 1) = 3)
- Áp dụng định nghĩa: (x + 1 = 2^3)
- Suy ra: (x + 1 = 8)
- Vậy: (x = 7)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số (y = log_3(x^2 + 1))
- Áp dụng công thức đạo hàm: (y’ = frac{(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1) ln 3})
- Suy ra: (y’ = frac{2x}{(x^2 + 1) ln 3})
6. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số (y = log_5(4 – x^2))
Bài 2: So sánh (log_2(3)) và (log_3(2))
Bài 3: Giải bất phương trình (log_{0.5}(x – 1) > -2)
