Trong hình học vectơ, khái niệm “hai vectơ cùng phương” đóng vai trò quan trọng. Vậy Hai Vectơ Cùng Phương Khi nào? Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì? Bài viết này sẽ cung cấp định nghĩa chi tiết, điều kiện cần và đủ, cùng các ví dụ và bài tập vận dụng để bạn hiểu rõ hơn về khái niệm này.
Định nghĩa hai vectơ cùng phương
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. “Giá của vectơ” ở đây được hiểu là đường thẳng chứa vectơ đó.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Có hai cách chính để xác định hai vectơ có cùng phương hay không:
- Dựa vào giá của vectơ: Nếu hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau, chúng cùng phương. Cách này thường được sử dụng khi có hình vẽ trực quan.
- Dựa vào biểu diễn vectơ: Hai vectơ a→ và b→ (với b→ ≠ 0→) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho a→ = k.b→. Số k này được gọi là tỷ số của hai vectơ cùng phương.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho u→ = 2a→ + b→ và v→ = -6a→ – 3b→. Chứng minh rằng u→ và v→ là hai vectơ cùng phương.
Giải:
Ta có: v→ = -6a→ – 3b→ = -3(2a→ + b→) = -3u→
Vậy, v→ = -3u→, suy ra u→ và v→ là hai vectơ cùng phương. Thêm vào đó, vì -3 < 0 nên u→ và v→ ngược hướng.
Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ – b→ và y→ = -4a→ + 2b→. Chứng minh rằng x→ và y→ là hai vectơ cùng phương.
Giải:
Ta có: y→ = -2(2a→ – b→) = -2x→
Vậy, y→ = -2x→, suy ra x→ và y→ là hai vectơ cùng phương.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD (như hình vẽ). Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→.
Giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD. Do đó:
- OA→ + OC→ = 0→
- OB→ + OD→ = 0→
Ta có:
SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = (SO→ + OA→) + (SO→ + OB→) + (SO→ + OC→) + (SO→ + OD→)
= 4SO→ + (OA→ + OC→) + (OB→ + OD→)
= 4SO→ + 0→ + 0→
= 4SO→
Vậy, SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→
Ví dụ 4: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = 2a→ – 3b→ và v→ = 3a→ – 9/2 b→. Chứng minh rằng u→ và v→ là hai vectơ cùng phương.
Giải:
Ta có: v→ = 3/2(2a→ – 3b→) = 3/2 u→
Vậy, u→ và v→ là hai vectơ cùng phương.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OA→ + t(OB→ – OA→) với t là một số thực. Giải thích tại sao.
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng MC’→ = MA→ + AD→ + DC’→.
Bài 3: Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thỏa mãn GA→ + GB→ + GC→ = 0→.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC và G là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng GD→ = 1/3 BD→.
Ứng dụng của hai vectơ cùng phương
Khái niệm hai vectơ cùng phương có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý, ví dụ:
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu AB→ và AC→ cùng phương, ba điểm A, B, C thẳng hàng.
- Phân tích lực trong vật lý: Khi các lực tác dụng lên một vật có phương song song hoặc trùng nhau, ta có thể sử dụng khái niệm vectơ cùng phương để tính toán hợp lực.
- Tìm điều kiện để một điểm thuộc một đường thẳng: Như trong bài tập ví dụ, điều kiện để điểm M thuộc đường thẳng AB có thể được biểu diễn thông qua vectơ cùng phương.
Hiểu rõ về điều kiện hai vectơ cùng phương là một bước quan trọng trong việc nắm vững kiến thức về vectơ và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán hình học và vật lý. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích.
