Hai Tam Giác Vuông đồng Dạng là một chủ đề quan trọng trong hình học, đặc biệt là chương trình Toán lớp 8. Việc nắm vững các dấu hiệu nhận biết và tính chất của hai tam giác vuông đồng dạng sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm, các trường hợp đồng dạng và bài tập vận dụng, giúp bạn hiểu sâu hơn về chủ đề này.
1. Các Trường Hợp Đồng Dạng Cơ Bản của Hai Tam Giác Vuông
Từ các trường hợp đồng dạng của tam giác thường, ta có thể suy ra các trường hợp đồng dạng đặc biệt cho tam giác vuông:
-
Trường hợp 1: Góc – Góc (g-g) Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
-
Trường hợp 2: Cạnh – Góc – Cạnh (c-g-c) Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
2. Trường Hợp Đồng Dạng Đặc Biệt: Cạnh Huyền và Cạnh Góc Vuông
Ngoài hai trường hợp trên, có một trường hợp đồng dạng đặc biệt dành riêng cho tam giác vuông:
- Trường hợp 3: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông (ch-cgv) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
Giả sử ta có hai tam giác vuông ABC (vuông tại A) và A’B’C’ (vuông tại A’) thỏa mãn: BC/B’C’ = AB/A’B’.
Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
- AC² = BC² – AB²
- A’C’² = B’C’² – A’B’²
Từ giả thiết BC/B’C’ = AB/A’B’, suy ra BC²/B’C’² = AB²/A’B’². Do đó:
AC²/A’C’² = (BC² – AB²)/(B’C’² – A’B’²) = BC²/B’C’² = AB²/A’B’².
Vậy AC/A’C’ = BC/B’C’ = AB/A’B’. Suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ (c.c.c).
3. Bài Tập Vận Dụng về Hai Tam Giác Vuông Đồng Dạng
3.1. Bài Tập Cơ Bản
Bài 1: Cho hai tam giác vuông ABC (vuông tại A) và DEF (vuông tại D) có AB = 3cm, AC = 4cm, DE = 6cm, DF = 8cm. Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF.
Giải:
Ta có: AB/DE = 3/6 = 1/2 và AC/DF = 4/8 = 1/2.
Vì AB/DE = AC/DF nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF (c.g.c).
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA.
Giải:
Xét tam giác AHB và tam giác CHA, ta có:
- Góc AHB = Góc CHA = 90°
- Góc ABH = 90° – Góc BAH = Góc CAH
Vậy tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA (g.g).
3.2. Bài Tập Nâng Cao
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. Chứng minh rằng tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD và tính độ dài AH.
Giải:
Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD:
- Góc AHB = Góc BCD = 90°
- Góc ABH = Góc CDB (cùng phụ với góc HBD)
Vậy tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD (g.g).
Tính độ dài AH:
Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác ABD, ta có:
AD² = AB² + BD² = 8² + 6² = 100 => AD = 10cm.
Diện tích tam giác ADB là: (AB BC)/2 = (8 6)/2 = 24 cm².
Mặt khác, diện tích tam giác ADB là: (AH * BD)/2.
Suy ra AH = (2 Diện tích tam giác ADB)/BD = (2 24)/10 = 4.8 cm.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 9cm. Tính độ dài AH, AB, AC.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
- AH² = BH CH = 4 9 = 36 => AH = 6cm
- AB² = BH BC = 4 (4 + 9) = 52 => AB = √52 = 2√13 cm
- AC² = CH BC = 9 (4 + 9) = 117 => AC = √117 = 3√13 cm
4. Ứng Dụng Thực Tế của Hai Tam Giác Vuông Đồng Dạng
Hai tam giác vuông đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Đo chiều cao của vật thể: Sử dụng tam giác vuông đồng dạng để tính chiều cao của các tòa nhà, cây cối mà không cần trực tiếp leo lên đo.
- Xác định khoảng cách: Dùng các tam giác vuông đồng dạng để ước lượng khoảng cách giữa các điểm trên mặt đất.
- Trong xây dựng: Tính toán kích thước và thiết kế các công trình xây dựng.
Kết luận
Hiểu rõ về “hai tam giác vuông đồng dạng” là nền tảng quan trọng để học tốt hình học. Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững chủ đề này và áp dụng thành công vào giải các bài toán liên quan.