Bài toán “Hai Người Thợ Cùng Làm Một Công Việc Trong 16 Giờ Thì Xong” là một dạng bài toán năng suất quen thuộc trong chương trình toán học phổ thông. Dưới đây là phân tích chi tiết và cách giải bài toán này, cùng với những biến thể và ứng dụng thực tế.
Phân tích bài toán gốc:
Bài toán cho biết hai người thợ cùng làm một công việc thì hoàn thành trong 16 giờ. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Yêu cầu là tìm thời gian mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc.
Phương pháp giải:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình. Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ, và thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ (x, y > 0).
Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 1/x công việc, người thứ hai làm được 1/y công việc.
Phương trình thứ nhất xuất phát từ việc hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong:
16(1/x + 1/y) = 1
Phương trình thứ hai xuất phát từ việc người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì được 25% công việc:
3(1/x) + 6(1/y) = 1/4
Từ đó, ta có hệ phương trình:
{16(1/x + 1/y) = 1
{3/x + 6/y = 1/4
Giải hệ phương trình:
Đặt a = 1/x và b = 1/y, hệ phương trình trở thành:
{16(a + b) = 1
{3a + 6b = 1/4
Giải hệ này, ta tìm được a và b, từ đó suy ra x và y.
Từ phương trình 16(a + b) = 1, ta có a + b = 1/16. Suy ra a = 1/16 – b.
Thay vào phương trình 3a + 6b = 1/4, ta được:
3(1/16 – b) + 6b = 1/4
3/16 – 3b + 6b = 1/4
3b = 1/4 – 3/16 = 1/16
b = 1/48
Suy ra y = 48 (giờ).
Thay b = 1/48 vào a + b = 1/16, ta được:
a = 1/16 – 1/48 = 2/48 = 1/24
Suy ra x = 24 (giờ).
Kết luận:
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 24 giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ.
Biến thể và mở rộng:
Bài toán này có thể được biến đổi theo nhiều cách khác nhau, ví dụ:
- Thay đổi số giờ làm việc của mỗi người.
- Thay đổi phần trăm công việc hoàn thành.
- Thêm người thứ ba cùng tham gia làm việc.
- Tính thời gian hoàn thành công việc nếu chỉ có một người làm trong một khoảng thời gian nhất định.
Ứng dụng thực tế:
Bài toán này có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống, ví dụ:
- Tính toán năng suất làm việc của công nhân trong một nhà máy.
- Lập kế hoạch thi công một công trình xây dựng.
- Phân chia công việc cho các thành viên trong một nhóm dự án.
Minh họa ứng dụng bài toán vào việc tính toán tiến độ công việc xây dựng
Lời khuyên:
Khi giải các bài toán dạng này, cần chú ý đến việc xác định đúng các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng. Việc lập hệ phương trình là một bước quan trọng, cần thực hiện cẩn thận để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Ngoài ra, nên kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong để đảm bảo tính hợp lý của bài toán.
