Trong hình học phẳng, việc xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng là một kiến thức quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào một trường hợp đặc biệt: Hai đường Thẳng Vuông Góc Với Nhau Khi Nào. Chúng ta sẽ đi sâu vào điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng vuông góc, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng để bạn nắm vững kiến thức này.
Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Cho hai đường thẳng ((d):y = ax + b) và ((d’):y = a’x + b’) với (a;a’ neq 0). Hai đường thẳng này vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích của hai hệ số góc bằng -1.
((d)bot(d’) Leftrightarrow a.a’ = – 1)
Điều này có nghĩa là, nếu bạn biết phương trình của hai đường thẳng, bạn chỉ cần nhân hệ số góc của chúng lại. Nếu kết quả bằng -1, thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Hình ảnh minh họa hai đường thẳng vuông góc, góc vuông được đánh dấu rõ ràng, chú thích hệ số góc.
Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ hơn về điều kiện hai đường thẳng vuông góc, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 1. Tìm một đường thẳng (d’) vuông góc với (d).
Giải:
Để (d’) vuông góc với (d), ta cần tìm một hệ số góc a’ sao cho:
2 * a’ = -1
=> a’ = -1/2
Vậy, một đường thẳng vuông góc với (d) có dạng: y = -1/2x + b’ (b’ là một hằng số bất kỳ). Ví dụ, y = -1/2x + 3 là một đường thẳng vuông góc với y = 2x + 1.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng y = -3x + 5 và y = 1/3x – 2 là vuông góc.
Giải:
Hệ số góc của đường thẳng thứ nhất là a = -3.
Hệ số góc của đường thẳng thứ hai là a’ = 1/3.
Ta có: a a’ = -3 (1/3) = -1
Vậy, hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
Minh họa đồ thị hai đường thẳng vuông góc y = -3x + 5 và y = 1/3x – 2
Bài tập áp dụng
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = -x + 2. Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua điểm A(1; 3) và vuông góc với (d).
Bài 2: Xác định xem hai đường thẳng y = 4x – 1 và y = -1/4x + 5 có vuông góc với nhau hay không.
Bài 3: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 2 và y = 2x + 3 vuông góc với nhau.
Các trường hợp đặc biệt và lưu ý
- Đường thẳng song song với trục Ox: Đường thẳng y = b (b là hằng số) song song với trục Ox và có hệ số góc bằng 0. Một đường thẳng vuông góc với nó sẽ là đường thẳng song song với trục Oy, có dạng x = c (c là hằng số).
- Đường thẳng song song với trục Oy: Đường thẳng x = c (c là hằng số) song song với trục Oy và không có hệ số góc xác định.
Tổng kết
Hiểu rõ điều kiện hai đường thẳng vuông góc với nhau khi nào là một kiến thức nền tảng quan trọng trong toán học. Bằng cách nắm vững công thức a.a’ = -1, bạn có thể dễ dàng xác định và giải quyết các bài toán liên quan đến tính vuông góc của hai đường thẳng. Hãy luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập để làm chủ kiến thức này.
Công thức a.a’=-1, điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng vuông góc.