Hai Biến Cố Xung Khắc là một khái niệm quan trọng trong xác suất thống kê. Hiểu rõ về hai biến cố xung khắc giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến xác suất một cách dễ dàng và chính xác. Bài viết này sẽ trình bày định nghĩa, quy tắc cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
1. Định Nghĩa Hai Biến Cố Xung Khắc
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu sự xảy ra của biến cố này loại trừ sự xảy ra của biến cố kia. Nói cách khác, A và B không thể đồng thời xảy ra.
Về mặt tập hợp, hai biến cố A và B là xung khắc khi và chỉ khi giao của hai tập hợp các kết quả có thể xảy ra của A và B là tập rỗng:
ΩA ∩ ΩB = ∅
Trong đó:
- ΩA là không gian mẫu của biến cố A.
- ΩB là không gian mẫu của biến cố B.
- ∅ là tập rỗng.
2. Quy Tắc Cộng Xác Suất cho Hai Biến Cố Xung Khắc
Khi hai biến cố A và B là xung khắc, xác suất để ít nhất một trong hai biến cố xảy ra (tức là A hoặc B xảy ra) được tính bằng tổng xác suất của từng biến cố:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Mở rộng cho nhiều biến cố: Nếu có k biến cố A1, A2, …, Ak đôi một xung khắc (tức là bất kỳ hai biến cố nào trong số này đều xung khắc), thì:
P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak)
3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Một người tung một đồng xu. Gọi A là biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” và B là biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”. Rõ ràng, đồng xu không thể vừa xuất hiện mặt ngửa, vừa xuất hiện mặt sấp trong cùng một lần tung. Vậy, A và B là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt.
- Gọi A là biến cố: “Xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn”.
- Gọi B là biến cố: “Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ”.
Hai biến cố A và B là xung khắc vì một mặt của xúc xắc không thể vừa là số chẵn, vừa là số lẻ.
Ví dụ 3: Một hộp đựng các viên bi với nhiều màu khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Xét các biến cố sau:
- A: “Hai viên bi lấy ra đều màu xanh”.
- B: “Hai viên bi lấy ra đều màu đỏ”.
- C: “Hai viên bi lấy ra đều màu vàng”.
Trong ví dụ này, ta thấy ba biến cố A, B, và C là các biến cố đôi một xung khắc, vì không thể đồng thời có hai viên bi cùng màu xanh và hai viên bi cùng màu đỏ (hoặc bất kỳ cặp màu nào khác). Do đó, xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu (xanh hoặc đỏ hoặc vàng) sẽ là tổng xác suất của từng biến cố.
4. Bài Tập Vận Dụng
Bài tập 1: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi Toán, 8 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi Toán hoặc Văn.
Hướng dẫn: Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn giỏi Toán”, B là biến cố “Học sinh được chọn giỏi Văn”. Vì có học sinh giỏi cả Toán và Văn, nên A và B không phải là hai biến cố xung khắc. Ta cần sử dụng công thức: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Bài tập 2: Một người chơi trò chơi rút thăm trúng thưởng. Có 10 lá thăm, trong đó có 3 lá trúng thưởng. Người chơi rút ngẫu nhiên 2 lá thăm. Tính xác suất để người chơi trúng thưởng ít nhất một lá thăm.
Hướng dẫn: Có thể giải bài này bằng cách tính xác suất của biến cố đối “Người chơi không trúng thưởng lá nào” rồi lấy 1 trừ đi. Hoặc, bạn có thể chia thành các trường hợp xung khắc: “Trúng 1 lá” và “Trúng 2 lá” rồi cộng xác suất lại.
Bài tập 3: Cho hai biến cố A và B. Biết P(A) = 0.4, P(B) = 0.3.
a) Nếu A và B xung khắc, tính P(A ∪ B).
b) Nếu P(A ∪ B) = 0.6, hỏi A và B có xung khắc không?
Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và công thức cộng xác suất để giải.
5. Kết Luận
Hiểu rõ về hai biến cố xung khắc và quy tắc cộng xác suất là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán xác suất. Việc luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng một cách linh hoạt. Chúc bạn thành công!
