1. Định Nghĩa Góc Tạo Bởi Tia Tiếp Tuyến và Dây Cung
Trong hình học Euclid, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn. Một cạnh của góc là một tia tiếp tuyến của đường tròn tại đỉnh đó, và cạnh còn lại chứa một dây cung của đường tròn có một đầu mút là đỉnh của góc. Cung nằm giữa hai cạnh của góc được gọi là cung bị chắn của góc đó.
2. Định Lý Về Số Đo Góc Tạo Bởi Tia Tiếp Tuyến và Dây Cung
Định lý quan trọng nhất liên quan đến góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là:
Số đo của Góc Tạo Bởi Tia Tiếp Tuyến Và Dây Cung Có Số đo Bằng một nửa số đo của cung bị chắn.
Nói cách khác, nếu góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn một cung có số đo là m độ, thì số đo của góc đó là m/2 độ.
Ví dụ: Trong hình vẽ trên, nếu cung AB có số đo là 80 độ, thì góc BAx có số đo là 40 độ.
Hệ quả: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
3. Ứng Dụng và Bài Tập Vận Dụng
Định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán hình học. Dưới đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Tiếp tuyến tại A cắt đường kính BC của đường tròn tại S. Biết góc ASC = 30 độ, tính AC theo bán kính R của đường tròn.
Lời giải:
Ta có góc CAx = 90 độ (tính chất tiếp tuyến), góc ACS = 30 độ.
Suy ra, góc CAS = 60 độ.
Do đó, số đo cung AC = 2 * góc CAS = 120 độ.
Vì vậy, AC = R * căn 3.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm ngoài đường tròn sao cho OI = 2R. Vẽ tiếp tuyến IA của đường tròn (A là tiếp điểm). Gọi B là giao điểm của OI và (O) (B nằm giữa O và I). Tính góc AIO.
Lời giải:
Xét tam giác OAI vuông tại A, ta có sin(AIO) = OA/OI = R/(2R) = 1/2.
Suy ra, góc AIO = 30 độ.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn, từ M vẽ cát tuyến MAB đến đường tròn. C là điểm trên đường tròn khác A và B. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) khi và chỉ khi MC² = MA.MB.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt (O) tại C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt (O’) tại D. Chứng minh AB² = BD.BC.
Những bài tập này giúp bạn rèn luyện kỹ năng áp dụng định lý góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng một nửa số đo cung bị chắn vào giải các bài toán hình học phức tạp hơn.
