Góc giữa hai mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian lớp 11. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng, đặc biệt là Góc Giữa Sac Và Sbc, cùng các bài tập minh họa và tự luyện để nắm vững kiến thức.
1. Định Nghĩa và Phương Pháp Chung
1.1. Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nói cách khác, đó là góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng.
1.2. Các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
- Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Chọn một điểm A thuộc (Q). Dựng AB vuông góc với (P) tại B (B thuộc (P)).
- Trong (P), vẽ BH vuông góc với d tại H. Khi đó, AH vuông góc với d.
- Góc AHB chính là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Góc này thường ký hiệu là α (0° < α < 90°).
2. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Cách Giải
2.1. Dạng 1: Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Ví dụ: Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC).
- Dựng đường cao SH vuông góc với (ABC), với H thuộc (ABC).
- Dựng HE vuông góc với AB, với E thuộc AB.
- Chứng minh AB vuông góc với (SEH).
- Kết luận: Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC) là góc SEH.
2.2. Dạng 2: Góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC)
Đây là dạng bài tập trọng tâm của bài viết, tập trung vào việc xác định góc giữa SAC và SBC. Có hai phương pháp chính để giải quyết dạng bài này:
Cách 1: Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (SBC). Góc giữa a và b là góc giữa hai mặt phẳng. Cách này đòi hỏi kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Cách 2: Sử dụng phương pháp hình chiếu và đường vuông góc chung:
- Dựng đường cao SH vuông góc với (ABC).
- Chọn điểm M bất kỳ thuộc AC, dựng MN vuông góc với HC.
- Chứng minh MN vuông góc với (SHC) suy ra MN vuông góc với SC.
- Dựng MK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (MKN).
- Kết luận: Góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng MK và KN.
3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Giải:
- Vì ABCD là hình vuông nên CD vuông góc AD (1).
- Vì SA vuông góc (ABCD) nên CD vuông góc SA (2).
- Từ (1) và (2) suy ra CD vuông góc (SAD) => CD vuông góc SD.
- Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD, tức là góc SDA.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Giải:
- Vì SA vuông góc (ABC) => SA vuông góc AB. Mà AB vuông góc AC => AB vuông góc (SAC).
- Kẻ AH vuông góc SC tại H.
- Vì AB vuông góc (SAC) => AB vuông góc SC. Mà AH vuông góc SC => SC vuông góc (ABH) => SC vuông góc BH.
- Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) chính là góc giữa hai đường thẳng AH và BH, tức là góc AHB.
- Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có: 1/AH^2 = 1/SA^2 + 1/AC^2 = 1/a^2 + 1/a^2 = 2/a^2 => AH = a√2/2.
- Vì AB vuông góc (SAC) => AB vuông góc AH.
- Xét tam giác ABH vuông tại A, có BH = √(AB^2 + AH^2) = √(a^2 + a^2/2) = a√6/2.
- Vậy cos(AHB) = AH/BH = (a√2/2) / (a√6/2) = √3/3.
4. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a, SA=a√6 và vuông góc với đáy. Góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng bao nhiêu?
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC = 60°, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO=a√3/2 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2, BC=2√3 , cạnh bên SA=3√2 và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SA=a√3 , SA ⊥ (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là bao nhiêu?
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB là đáy lớn và tam giác ABC là cân tại C, AC = a. Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SC=a√3 và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng bao nhiêu?
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a√3 . Góc tạo bởi (SAB) và (SCD) bằng bao nhiêu?
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD=a√3/2 . Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc ASB = 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng bao nhiêu?
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, biết đường cao của khối chóp là SH=a√6/3 và tam giác SBD vuông tại S. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SCD).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = BC = a và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng bao nhiêu?
Thông qua việc nắm vững lý thuyết, xem xét các ví dụ minh họa và luyện tập các bài tập tự giải, bạn sẽ tự tin hơn trong việc xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng, đặc biệt là góc giữa SAC và SBC, một dạng toán quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 11.
