Góc Giữa Hai Vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ, có nhiều ứng dụng trong giải toán và các lĩnh vực khác. Bài viết này cung cấp đầy đủ kiến thức về góc giữa hai vectơ, bao gồm định nghĩa, công thức tính và các ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn nắm vững và áp dụng hiệu quả.
A. Phương pháp giải
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ
Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ khác vectơ-không là $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ $overrightarrow{OA} = overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{OB} = overrightarrow{b}$. Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, ký hiệu $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$.
Lưu ý: Góc giữa hai vectơ luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180°.
Phương pháp 2: Tính góc giữa hai vectơ thông qua tích vô hướng (áp dụng trong hệ tọa độ)
Cho hai vectơ $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$. Khi đó, cosin của góc giữa hai vectơ được tính theo công thức:
$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a} . overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}| . |overrightarrow{b}|} = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2} . sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$
Từ giá trị cosin này, ta có thể suy ra góc giữa hai vectơ.
Chú ý:
- Nếu $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = 0$ thì $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 90°$, tức là hai vectơ vuông góc.
- Nếu $cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 1$ thì $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 0°$, tức là hai vectơ cùng hướng.
- Nếu $cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = -1$ thì $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 180°$, tức là hai vectơ ngược hướng.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BC}$.
Hướng dẫn giải:
Để tính góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BC}$, ta cần biến đổi một trong hai vectơ để chúng có chung gốc.
$overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB}$
Khi đó, góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BC}$ bằng góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $(overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB})$. Vì tam giác ABC vuông cân tại A, góc BAC = 90°. Do đó, góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$ là 90°. Góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $-overrightarrow{AB}$ là 180°.
Gọi $alpha$ là góc giữa $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BC}$. Ta có:
$cos(alpha) = frac{overrightarrow{AB} . overrightarrow{BC}}{|overrightarrow{AB}| . |overrightarrow{BC}|} = frac{overrightarrow{AB} . (overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB})}{|overrightarrow{AB}| . |overrightarrow{BC}|} = frac{overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} – overrightarrow{AB}.overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{AB}| . |overrightarrow{BC}|}$
Vì $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} = 0$ (do AB vuông góc AC) và $|overrightarrow{AB}| = a$, $|overrightarrow{BC}| = asqrt{2}$ (a là độ dài cạnh AB):
$cos(alpha) = frac{-a^2}{a . asqrt{2}} = frac{-1}{sqrt{2}} = -frac{sqrt{2}}{2}$
Vậy $alpha = 135°$.
Ví dụ 2: Cho các vectơ $overrightarrow{a} = (1; 2)$, $overrightarrow{b} = (-2; 1)$. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:
$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2} . sqrt{x_2^2 + y_2^2}} = frac{1.(-2) + 2.1}{sqrt{1^2 + 2^2} . sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = frac{0}{sqrt{5} . sqrt{5}} = 0$
Vậy góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là 90°.
Ví dụ 3: Cho hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện $|overrightarrow{u} + overrightarrow{v}| = sqrt{3}$. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $|overrightarrow{u} + overrightarrow{v}|^2 = (overrightarrow{u} + overrightarrow{v})^2 = overrightarrow{u}^2 + 2overrightarrow{u}.overrightarrow{v} + overrightarrow{v}^2 = |overrightarrow{u}|^2 + 2overrightarrow{u}.overrightarrow{v} + |overrightarrow{v}|^2$
Vì $|overrightarrow{u} + overrightarrow{v}| = sqrt{3}$, $|overrightarrow{u}| = 1$, $|overrightarrow{v}| = 1$ nên:
$3 = 1 + 2overrightarrow{u}.overrightarrow{v} + 1 Rightarrow overrightarrow{u}.overrightarrow{v} = frac{1}{2}$
$cos(overrightarrow{u}, overrightarrow{v}) = frac{overrightarrow{u} . overrightarrow{v}}{|overrightarrow{u}| . |overrightarrow{v}|} = frac{1/2}{1 . 1} = frac{1}{2}$
Vậy góc giữa hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ là 60°.
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}$ và góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}$ và góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$.
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;2), B(3;-1). Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{OA}$ và $overrightarrow{AB}$.
Bài 4. Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ thỏa mãn $|overrightarrow{a}| = 3$, $|overrightarrow{b}| = 4$ và $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 60°$. Tính $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}|$.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b và $widehat{BAD} = 60°$. Tính AC theo a và b.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách tính góc giữa hai vectơ và áp dụng thành công vào giải toán.