Góc Giữa Hai Mặt Phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng một cách chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng có lời giải, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.
A. Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
Cách 1: Sử dụng hai đường thẳng vuông góc
Tìm hai đường thẳng, giả sử là a và b, lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Lưu ý rằng, cần xét góc nhọn hoặc góc tù để đảm bảo góc giữa hai mặt phẳng nằm trong khoảng [0°, 90°].
Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu
Gọi S là diện tích của hình (H) nằm trong mặt phẳng (α), và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) lên mặt phẳng (β). Khi đó, ta có công thức:
S’ = S.cos(φ)
Trong đó, φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Từ công thức này, ta có thể suy ra cos(φ) = S’/S, và do đó tính được φ.
Cách 3: Xác định trực tiếp góc giữa hai mặt phẳng
Đây là phương pháp phổ biến và thường được sử dụng nhất. Các bước thực hiện như sau:
- Bước 1: Xác định giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (α) và (β).
- Bước 2: Tìm một mặt phẳng (γ) vuông góc với giao tuyến Δ.
- Bước 3: Xác định các giao tuyến a và b của (γ) với (α) và (β) tương ứng. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) chính là góc giữa hai đường thẳng a và b: ((α), (β)) = (a, b).
Hình ảnh minh họa các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng (alpha) và (beta) bằng cách tìm giao tuyến delta và mặt phẳng gamma vuông góc với giao tuyến.
B. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh tứ diện ABCD với AC=AD, BC=BD và I là trung điểm của CD để minh họa cách xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
- Tam giác BCD cân tại B có I là trung điểm của đáy CD => CD ⊥ BI (1)
- Tam giác CAD cân tại A có I là trung điểm của đáy CD => CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) => CD ⊥ (ABI).
=> (BCD) ⊥ (ABI) và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB.
Vậy A sai.
Chọn A
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hình ảnh tứ diện đều ABCD để minh họa cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) trong hình học không gian.
Hướng dẫn giải
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√3/2
Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√3/2
Do đó, ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠CID = α
Tam giác CID có
Chọn A
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cos của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Hình ảnh hình chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cạnh bằng a, dùng để tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ phân tích chi tiết góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) của hình chóp tứ giác đều S.ABCD, với các điểm H, M được xác định rõ ràng.
Chọn C.
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
- Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.
- Tam giác SCD cân tại S; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)
SM ⊥ CD và HM ⊥ CD
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α
Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH (H ∈ BC). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA ⊥ (ABC)
B. O ∈ SH
C. (SAH) ⊥ (SBC)
D. ((SBC), (ABC)) = ∠SBA
Hướng dẫn giải
Hình ảnh hình chóp S.ABC với mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại A, để phân tích quan hệ vuông góc và góc giữa các mặt phẳng.
Hình ảnh phân tích chi tiết các yếu tố vuông góc trong hình chóp S.ABC, bao gồm SA vuông góc với (ABC) và xác định góc giữa (SBC) và (ABC) là góc SBA.
(Còn tiếp các ví dụ khác và bài tập vận dụng…)
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF)và (SBC) là
A. 90° B. 60° C. 30° D. 45°
Hướng dẫn giải
Hình ảnh hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SO vuông góc với đáy, và các điểm E, F được xác định rõ, để tìm góc giữa hai mặt phẳng (SOF) và (SBC).
Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều
Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC
Mặt khác, tam giác BDE có OF là đường trung bình
⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF (1).
- Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO (2).
- Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (SOF)
Vậy, góc giữa ( SOF) và( SBC) bằng 90°
Chọn A
(Các ví dụ và bài tập tiếp theo được trình bày tương tự…)
C. Bài tập vận dụng
(Các bài tập vận dụng được trình bày tương tự như trong bài viết gốc, kèm theo lời giải chi tiết.)
Bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!