Để giải quyết các bài toán liên quan đến véc tơ trong hình học và vật lý, việc nắm vững khái niệm và công thức tính góc giữa hai véc tơ là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, từ định nghĩa cơ bản đến các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn hiểu rõ và áp dụng thành thạo kiến thức về góc giữa hai véc tơ.
A. Phương Pháp Giải
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ
Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$ đều khác vectơ-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ $overrightarrow{OA} = vec{u}$ và $overrightarrow{OB} = vec{v}$. Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$, hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$.
Phương pháp 2: (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cosin của góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.
Sử dụng công thức sau:
Cho hai vectơ $vec{u} = (x_1; y_1)$ và $vec{v} = (x_2; y_2)$. Khi đó:
$cos(vec{u}, vec{v}) = frac{vec{u}.vec{v}}{|vec{u}|.|vec{v}|} = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2}.sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$
Chú ý: Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°].
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BC}$.
Hướng dẫn giải:
$overrightarrow{AB}, overrightarrow{BC} = (overrightarrow{AB}, overrightarrow{BA} + overrightarrow{AC}) = (overrightarrow{AB}, overrightarrow{BA}) + (overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}) = 180° – 45° = 135°$
Ví dụ 2: Cho các vectơ $vec{a} = (2; -1)$ và $vec{b} = (1; 3)$. Tính góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $vec{a}.vec{b} = 2.1 + (-1).3 = -1$
$|vec{a}| = sqrt{2^2 + (-1)^2} = sqrt{5}$
$|vec{b}| = sqrt{1^2 + 3^2} = sqrt{10}$
$cos(vec{a}, vec{b}) = frac{-1}{sqrt{5}.sqrt{10}} = frac{-1}{5sqrt{2}} = -frac{sqrt{2}}{10}$
Vậy góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là góc α ∈ [0°;180°] thỏa mãn $cos(α) = -frac{sqrt{2}}{10}$. Sử dụng máy tính, ta tính được α ≈ 98.13°.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $vec{a} = (1; 1)$ và $vec{b} = (0; 1)$. Tính góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$.
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 30°
Hướng dẫn giải:
$cos(vec{a}, vec{b}) = frac{1.0 + 1.1}{sqrt{1^2 + 1^2}.sqrt{0^2 + 1^2}} = frac{1}{sqrt{2}.1} = frac{sqrt{2}}{2}$
Suy ra góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là 45°.
Đáp án A
Ví dụ 4: Cho hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện $vec{a} – vec{b} = vec{c}$ và $|vec{c}| = 1$. Tính góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$.
A. 60°
B. 30°
C. 120°
D. 150°
Hướng dẫn giải:
Ta có: $|vec{a} – vec{b}|^2 = |vec{a}|^2 + |vec{b}|^2 – 2|vec{a}||vec{b}|cos(vec{a}, vec{b})$
Suy ra: $1^2 = 1^2 + 1^2 – 2.1.1.cos(vec{a}, vec{b})$
$cos(vec{a}, vec{b}) = frac{1}{2}$
Vậy góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là 60°.
Đáp án A
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính góc giữa vecto a và vectơ c, biết vectơ $vec{c}=vec{a}-vec{b}$ và cho các vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ thoả mãn |$vec{a}$| = 4, |$vec{b}$| = 2, góc giữa $vec{a}$ và $vec{b}$ bằng 60°.
Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{OM}$ và $overrightarrow{BC}$.
Bài 3. Tính góc giữa 2 vectơ a và b, biết rằng 2 vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3$vec{a}$ + 2$vec{b}$| = $sqrt{7}$.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD có $angle BAD = 120°$. Tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{DC}$ và $overrightarrow{AD}$.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $asqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.
Bài 6. Cho các vectơ $vec{a}=vec{i}+vec{j}$ ; $vec{b}=2vec{i}+3vec{j}$. Tính góc giữa hai vectơ $vec{a}$ ,$vec{b}$.
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $vec{a}=(2;5)$ ; $vec{b}=(3;7)$. Tính góc giữa hai vectơ $vec{a}$; $vec{b}$.
Bài 8. Cho hai vectơ $vec{a}$;$vec{b}$ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện |3$vec{a}$+5$vec{b}$|=$sqrt{19}$. Tính góc giữa hai vectơ $vec{a}$;$vec{b}$.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $asqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $asqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào?
