Trong hình học không gian, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Định Nghĩa và Công Thức Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Về mặt tính toán, ta sử dụng vector pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $vec{n_P} = (A; B; C)$ và $vec{n_Q} = (A’; B’; C’)$. Góc $alpha$ giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo công thức:
$cos(alpha) = frac{|vec{n_P} . vec{n_Q}|}{|vec{n_P}| . |vec{n_Q}|} = frac{|AA’ + BB’ + CC’|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2} . sqrt{A’^2 + B’^2 + C’^2}}$
Trong đó:
- $|vec{n_P} . vec{n_Q}|$ là giá trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến.
- $|vec{n_P}|$ và $|vec{n_Q}|$ là độ dài của hai vectơ pháp tuyến.
Công thức tổng quát tính góc giữa hai mặt phẳng dựa trên tích vô hướng của vector pháp tuyến, giúp dễ dàng áp dụng vào các bài toán cụ thể.
2. Các Bước Xác Định Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta thực hiện các bước sau:
-
Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: Từ phương trình mặt phẳng, ta dễ dàng xác định được vectơ pháp tuyến. Ví dụ, mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến là $vec{n_P} = (A; B; C)$.
-
Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: $vec{n_P} . vec{n_Q} = AA’ + BB’ + CC’$.
-
Tính độ dài của hai vectơ pháp tuyến: $|vec{n_P}| = sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ và $|vec{n_Q}| = sqrt{A’^2 + B’^2 + C’^2}$.
-
Áp dụng công thức tính cosin của góc: Thay các giá trị đã tính vào công thức trên để tìm cos(α).
-
Tìm góc α: Sử dụng hàm arccos (cos-1) để tìm góc α. Lưu ý, góc giữa hai mặt phẳng luôn nằm trong khoảng [0°; 90°].
3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + y – z + 1 = 0.
- Giải:
- Vectơ pháp tuyến của (P): $vec{n_P} = (1; 2; 2)$.
- Vectơ pháp tuyến của (Q): $vec{n_Q} = (1; 1; -1)$.
- $vec{n_P} . vec{n_Q} = 1.1 + 2.1 + 2.(-1) = 1$.
- $|vec{n_P}| = sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.
- $|vec{n_Q}| = sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = sqrt{3}$.
- $cos(alpha) = frac{|1|}{3.sqrt{3}} = frac{1}{3sqrt{3}}$.
- $alpha = arccos(frac{1}{3sqrt{3}}) approx 78.9°$.
Ví dụ cụ thể về cách áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, bao gồm xác định vector pháp tuyến và tính toán giá trị góc.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a$sqrt{2}$. Tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
- Giải:
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), S(0;0;a$sqrt{2}$). Khi đó C(a;a;0).
- Vectơ pháp tuyến của (ABCD): $vec{n_{ABCD}} = (0;0;1)$.
- Vectơ SB = (a;0;-a$sqrt{2}$), SC = (a;a;-a$sqrt{2}$). Suy ra, tích có hướng của [SB,SC] = (a2$sqrt{2}$, -a2$sqrt{2}$, a2). Chọn $vec{n_{SBC}}$ = ($sqrt{2}$; -$sqrt{2}$; 1).
- $cos(alpha) = frac{|0. sqrt{2} + 0. (-sqrt{2}) + 1.1|}{sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} . sqrt{(sqrt{2})^2 + (-sqrt{2})^2 + 1^2}} = frac{1}{sqrt{5}}$.
- $alpha = arccos(frac{1}{sqrt{5}})$.
4. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 5 = 0 và (Q): x – y + 1 = 0. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): mx + 2y + mz – 12 = 0 và (Q): x + my + z + 3 = 0. Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 45°.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (Oxy).
Một số bài tập tự luyện giúp người đọc củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng.
5. Ứng Dụng Thực Tế
Việc tính toán góc giữa hai mặt phẳng không chỉ là một bài toán hình học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Kiến trúc và xây dựng: Tính toán góc nghiêng của mái nhà, vách tường để đảm bảo tính thẩm mỹ và khả năng chịu lực.
- Thiết kế đồ họa và mô phỏng 3D: Xác định góc nhìn, hướng ánh sáng trong không gian ba chiều.
- Robot học: Tính toán góc giữa các khớp của robot để điều khiển chuyển động.
Nắm vững công thức và phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng sẽ giúp bạn giải quyết nhiều vấn đề trong học tập và ứng dụng thực tế. Chúc bạn thành công!
