Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học giải tích, việc xác định góc Giữa Hai đường Thẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp, công thức và ví dụ minh họa chi tiết để tính góc giữa hai đường thẳng một cách hiệu quả.
A. Các Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Có hai phương pháp chính để xác định góc giữa hai đường thẳng, tùy thuộc vào dạng phương trình của chúng:
1. Sử dụng Vector Pháp Tuyến:
- Gọi n→(x; y) và n’→(x’; y’) lần lượt là vector pháp tuyến của hai đường thẳng d và d’.
- Góc α giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
Cosα = |cos( n→; n’→ ) | =
Trong đó: x, y, x’, y’ là tọa độ của các vector pháp tuyến.
2. Sử dụng Hệ Số Góc:
- Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng.
- Góc α giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
tgα =
Lưu ý: Công thức này chỉ áp dụng khi k1.k2 ≠ -1 (tức hai đường thẳng không vuông góc).
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y – 2 = 0 và (b): 2x – y + 39 = 0.
Giải:
- Đường thẳng (a) có VTPT n→ = (3; 1).
- Đường thẳng (b) có VTPT n’→ = (2; -1).
- Áp dụng công thức:
cos(a; b) = |cos( na→; nb→ ) | =
- Suy ra (a; b) = 45°.
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10x + 5y – 1 = 0 và ∆2 :
Giải:
- Vector pháp tuyến của ∆1 là n1→ = (2; 1).
- Vector pháp tuyến của ∆2 là n2→ = (1; 1).
- Áp dụng công thức:
cos(∆1; ∆2) = |cos( n1→, n2→ ) | =
Chọn B.
Ví dụ 3: Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .
Giải:
- Đường thẳng 3x + y – 8 = 0 có VTPT n1→ = (3; 1).
- Đường thẳng 4x – 2y + 10 = 0 có VTPT n2→ = (4; -2).
- Áp dụng công thức:
cos(d1, d2) = |cos( n1→, n2→ ) | =
- Suy ra (d1, d2) = 45°.
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 3y – 9 = 0 và d2:
Giải:
- Vector pháp tuyến của d1 là n1→ = (1; 3).
- Vector pháp tuyến của d2 là n2→ = (1; -1).
- Áp dụng công thức:
Cos( d1; d2) = |cos( n1→, n2→ ) | =
Chọn C.
Ví dụ 5: Tính góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b):
Giải:
- Đường thẳng (a) tương đương 4x + 2y – 8 = 0 có VTPT n→ = (4; 2).
- Đường thẳng (b) có VTCP u→ = (2; -4) nên VTPT n’→ = (4; 2).
- Áp dụng công thức:
cos(a; b) = = 1
- Suy ra góc giữa hai đường thẳng đã cho là 0°.
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°.
Giải:
- Đường thẳng (a) có VTPT n→ = (1; 1).
- Đường thẳng (b) có VTPT n’→ = (2 ;m).
- Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 45° thì:
Cos45° =
- Giải phương trình, ta được m = 0.
Chọn B
Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?
Giải:
- Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = 2.
- Đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = -1.
- Áp dụng công thức:
Tgα = = 3
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d1): y = – 3x + 8 và (d2) : x + y – 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?
Giải:
- Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = -3.
- Đường thẳng (d2) tương đương y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.
- Áp dụng công thức:
tgα =
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): x + my – 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 60°.
Giải:
- Đường thẳng (a) có VTCP u→(m, 1) nên có VTPT n→(1; -m).
- Đường thẳng (b) có VTPT n’→(1; m).
- Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 60° thì:
Cos60° =
- Giải phương trình, ta tìm được 4 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y – 7 = 0 và d2: 2x – 4y + 9 = 0.
Lời giải:
Đáp án: A
Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x – 5y + 15 = 0 và ∆2:
Lời giải:
Đáp án: A
Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: và d2:
Lời giải:
Đáp án: D
Câu 4: Góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b): gần với số đo nào nhất?
Lời giải:
Đáp án: A
Câu 5: Cho đường thẳng (a): x – y – 210 = 0 và đường thẳng (b): x + my + 47 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°.
Lời giải:
Đáp án: B
Câu 6: Cho đường thẳng (a): y = -x + 30 và (b): y = 3x + 600. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?
Lời giải:
Đáp án: B
Câu 7: Cho hai đường thẳng (d1): y = -2x + 80 và (d2) : x + y – 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?
Lời giải:
Đáp án: D
Câu 8: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): 2x + y – 40 = 0.Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°.
Lời giải:
Đáp án: B
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 5x + 2y – 3 = 0 và (b): 2x + y + 7 = 0.
Bài 2. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: 10x + 5y – 1 = 0 và d2: {x = 2t + 3; y = 3 + t}.
Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 5x + 2y – 7 = 0 và 3x – 5y + 6 = 0.
Bài 4. Cho đường thẳng (a): 3x + 2y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 5x + my + 9 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°?
Bài 5. Cho đường thẳng (a): y = 3x + 5 và (b): y = –2x + 4. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng. Chúc bạn học tốt!