Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian, việc xác định và viết phương trình Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp tìm giao tuyến và ứng dụng của nó trong các bài toán khác nhau.
Phương Pháp Xác Định Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng
Có hai phương pháp chính để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
Cách 1: Sử Dụng Tích Có Hướng
-
Tìm Véc Tơ Chỉ Phương: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau, véc tơ chỉ phương của giao tuyến d chính là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của (P) và (Q).
-
Tìm Một Điểm Chung: Tìm một điểm M thuộc cả hai mặt phẳng. Điểm này có tọa độ thỏa mãn đồng thời phương trình của cả (P) và (Q).
-
Viết Phương Trình Đường Thẳng: Dựa vào điểm M và véc tơ chỉ phương vừa tìm được, ta có thể viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng d.
Cách 2: Giải Hệ Phương Trình
-
Lập Hệ Phương Trình: Giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q) là tập hợp các điểm M(x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình:
-
Tham Số Hóa: Đặt một biến (ví dụ: x = t) và giải hệ phương trình để biểu diễn y và z theo t.
-
Viết Phương Trình Tham Số: Từ biểu thức x, y, z theo t, ta có phương trình tham số của đường thẳng d.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm phương trình tham số của giao tuyến d của hai mặt phẳng (α): x – 3y + z = 0 và (α’): x + y – z + 4 = 0.
Lời giải:
Ta tìm điểm M(x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt y = t, ta có:
Vậy phương trình tham số của d là:
Ví dụ 2: Tìm phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2; -1) và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + y – z + 3 = 0 và (α’): 2x – y + 5z – 4 = 0.
Lời giải:
Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là:
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Ứng Dụng Của Giao Tuyến Trong Các Bài Toán
- Tìm Khoảng Cách: Giao tuyến có thể giúp tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc mặt phẳng.
- Xác Định Vị Trí Tương Đối: Xác định vị trí tương đối giữa các đường thẳng và mặt phẳng.
- Giải Các Bài Toán Về Góc: Tính góc giữa hai mặt phẳng hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài Tập Vận Dụng
- Tìm phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y + z – 4 = 0 và (Q): x + 2y – z – 5 = 0.
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(-2; -3; 1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0 và (Q): 2x – 3y – 4 = 0.
Bằng việc nắm vững các phương pháp và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến giao tuyến của hai mặt phẳng và ứng dụng chúng một cách hiệu quả.
