1. Định Nghĩa Giao Của Hai Tập Hợp
Trong toán học, giao của hai tập hợp là một khái niệm cơ bản.
Cho hai tập hợp A và B. Tập hợp các phần tử thuộc cả A và B được gọi là giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A ∩ B.
A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.
2. Cách Xác Định Giao của Hai Tập Hợp
Để tìm giao của hai tập hợp A và B, chúng ta thực hiện như sau:
- Liệt kê các phần tử: Liệt kê tất cả các phần tử của cả hai tập hợp.
- Xác định phần tử chung: Tìm ra những phần tử xuất hiện đồng thời trong cả hai tập hợp A và B. Tập hợp các phần tử này chính là giao của A và B.
3. Giao của Hai Tập Hợp Dưới Dạng Khoảng, Đoạn, Nửa Khoảng
Khi hai tập hợp được cho dưới dạng khoảng, đoạn, hoặc nửa khoảng trên trục số, ta có thể xác định giao của chúng bằng cách:
- Bước 1: Biểu diễn trên trục số: Vẽ hai tập hợp A và B trên cùng một trục số.
- Bước 2: Tìm phần chung: Xác định phần nào của trục số thuộc đồng thời cả hai tập hợp A và B. Đây chính là giao của hai tập hợp đó.
- Bước 3: Kiểm tra điểm đặc biệt: Kiểm tra các điểm mút của khoảng, đoạn, nửa khoảng để xác định xem chúng có thuộc giao của hai tập hợp hay không.
Ví dụ: Tìm giao của hai tập hợp A = (0; 5] và B = [2; 7).
- Biểu diễn: Vẽ hai tập hợp trên trục số.
- Phần chung: Phần chung của hai tập hợp là [2; 5].
- Kiểm tra: Điểm 2 thuộc cả hai tập hợp. Điểm 5 thuộc A nhưng không thuộc B (do B là (2; 7)), do đó 5 không thuộc giao. Vậy A ∩ B = [2; 5).
4. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B = {3, 5, 7, 9}. Tìm A ∩ B.
Giải:
Các phần tử thuộc cả A và B là 3 và 5. Vậy A ∩ B = {3, 5}.
Ví dụ 2: Cho A = {x ∈ ℤ |– 2 < x ≤ 3} và B = {x ∈ ℤ | 1 ≤ x ≤ 5}. Tìm A ∩ B.
Giải:
- Tập hợp A = {–1, 0, 1, 2, 3}.
- Tập hợp B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Giao của A và B là A ∩ B = {1, 2, 3}.
Ví dụ 3: Xác định tập hợp (0; 3) ∪ (–3; 2).
Hướng dẫn giải:
Xét tập hợp A = (0; 3)
- Ta dùng kí hiệu khoảng để biểu diễn tập hợp trên.
- Ta chỉ nhận các giá trị từ 0 đến 3 và gạch bỏ phần bé hơn 0 và lớn hơn 3.
Tập hợp A được biểu diễn trên trục số như sau:
Tương tự, ta biểu diễn tập hợp B trên trục số như sau:
Do đó, phần hợp của hai tập hợp A và B là tất cả những phần không gạch chéo trong hai hình vẽ trên:
Vậy (0; 3) ∪ (–3; 2) = (–3; 3).
5. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho A = {x ∈ ℕ | x là ước của 12} và B = {x ∈ ℕ | x là ước của 18}. Tìm A ∩ B.
Bài 2: Cho A = [–2; 5) và B = (1; 7]. Tìm A ∩ B.
Bài 3: Cho A = {x ∈ ℝ | x > 3} và B = {x ∈ ℝ | x ≤ 8}. Tìm A ∩ B.
Bài 4: Cho A = {x ∈ ℤ | -5 < x < 5} và B = {x ∈ ℕ | x ≤ 6}. Tìm A ∩ B.
Bài 5: Cho các tập hợp:
A = {x ∈ ℤ | – 5
B = {x ∈ ℤ | 1
Xác định tập hợp X = A ∩ B.
A. X = {2; 3; 4};
B. X = {2; 3; 4; 5};
C. X = {3; 4; 5};
D. X = {1; 2; 3; 4}.
Lời giải:
A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
=> A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}
=> Đáp án B
Bài 6: Cho hai tập hợp:
X = {x ∈ ℕ | 0 ≤ x ≤ 5}
Y là tập hợp các ước số tự nhiên của 15.
X ∩ Y là tập hợp nào dưới đây?
A. A = {1; 2; 3; 4; 5};
B. B = {1; 2; 3};
C. C = {3; 4; 5};
D. D = {1; 3; 5}.
Lời giải:
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Y = {1, 3, 5, 15}
=> X ∩ Y = {1, 3, 5}
=> Đáp án D.
Bài 7: Cho các tập hợp:
A = {x ∈ ℤ | 5
B = {x ∈ ℤ | 8
Xác định tập hợp X = A ∩ B.
A. X = {6; 7};
B. X = {8; 9};
C. X = {9; 10};
D. X = ∅.
Lời giải:
A = {6, 7, 8}
B = {9, 10, 11}
=> A ∩ B = ∅
=> Đáp án D.
6. Ứng Dụng của Giao Hai Tập Hợp
Giao của hai tập hợp được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học máy tính, bao gồm:
- Cơ sở dữ liệu: Tìm các bản ghi thỏa mãn nhiều điều kiện.
- Lý thuyết đồ thị: Tìm các đỉnh chung của hai đồ thị.
- Logic: Biểu diễn phép “và” (AND).
- Xác suất: Tính xác suất của các sự kiện đồng thời.
Hiểu rõ về giao của hai tập hợp là một bước quan trọng để nắm vững các khái niệm toán học cao cấp hơn.
