Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt hữu ích khi giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các dạng bài tập đa dạng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài toán.
A. Phương Pháp Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
Phương pháp này bao gồm các bước rõ ràng, giúp bạn tiếp cận bài toán một cách logic và hiệu quả:
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn ẩn số: Xác định hai đại lượng chưa biết và biểu diễn chúng bằng ẩn số x và y. Lưu ý đặt đơn vị và điều kiện phù hợp cho mỗi ẩn số (ví dụ: x > 0, y là số nguyên…).
- Biểu diễn các đại lượng khác: Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng đã biết và ẩn số, biểu diễn các đại lượng chưa biết khác qua x và y.
- Lập phương trình: Tìm hai mối quan hệ độc lập giữa các đại lượng trong bài toán, từ đó thiết lập hai phương trình liên quan đến x và y. Hai phương trình này tạo thành hệ phương trình.
Bước 2: Giải hệ phương trình
- Sử dụng các phương pháp đã học (ví dụ: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số) để giải hệ phương trình và tìm ra giá trị của x và y.
Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- Kiểm tra xem các giá trị tìm được của x và y có thỏa mãn điều kiện ban đầu của bài toán hay không.
- Đưa ra kết luận cuối cùng, trả lời câu hỏi của bài toán.
B. Bài Tập Tự Luận: Áp Dụng Phương Pháp Giải
Để hiểu rõ hơn về phương pháp này, chúng ta sẽ cùng xét một số ví dụ minh họa:
Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 45m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x và y (m, x > 0, y > 0).
- Chu vi hình chữ nhật: 2(x + y) = 34 (1)
- Diện tích tăng thêm: (x + 2)(y + 3) = xy + 45 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình.
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 72 và tổng của số mới và số đã cho là 110.
Hướng dẫn giải:
Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y (x, y là các số nguyên từ 0 đến 9, x ≠ 0). Số ban đầu là 10x + y, số mới là 10y + x.
- Số mới lớn hơn số ban đầu 72 đơn vị: 10y + x – (10x + y) = 72
- Tổng của số mới và số ban đầu là 110: 10x + y + 10y + x = 110
Vậy số cần tìm là 19.
Bài 3: Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một ô tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc, ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, ô tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là x và y (km/h, x > 0, y > 0). Giả sử hai xe gặp nhau tại C.
- Quãng đường AC dài 2y (km), quãng đường BC dài 0.5x (km).
- Thời gian ô tô đi hết quãng đường AC là 2y/x (giờ).
- Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là 0.5x/y (giờ).
Từ (2) suy ra x = 2y (do x > 0, y > 0), thay vào (1) ta có phương trình: 3y = 90 ⇔ y = 30 => x = 60 (thỏa mãn x, y > 0).
Vận tốc của ô tô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.
Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2 giờ. Nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc dự định là x (km/h) (x > 0) và thời gian dự định là y (giờ) (y > 0). Quãng đường AB là xy (km).
- Vận tốc tăng, thời gian giảm: (x + 14)(y – 2) = xy (1)
- Vận tốc giảm, thời gian tăng: (x – 4)(y + 1) = xy (2)
C. Bài Tập Tự Luyện: Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1. Hai năm trước đây, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em, còn 8 năm trước đây, tuổi của anh gấp 5 lần tuổi em. Hỏi hiện nay anh và em bao nhiêu tuổi?
Bài 2. Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.
Bài 3. Một hình chữ nhật có chu vi 90m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi 15m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính các cạnh của hình chữ nhật đã cho.
Bài 4. Một người dự định đi xe máy từ A đến B cách nhau 96 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được một nửa quãng đường, người đó dừng lại 18 phút. Do đó để đến B đúng hẹn, người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường.
Bài 5. Bạn Tuấn vào cửa hàng bách hóa mua một đôi giày và một bộ quần áo thể thao, giá tiền tổng cộng là 148.000 đồng. Một tuần sau trở lại, giá mỗi đôi giày giảm 20%, giá mỗi bộ quần áo thể thao đã giảm 40%. Bạn Tuấn đưa cho cô bán hàng 111.000 đồng, cô bán hàng trả lại bạn Tuấn 8.900 đồng. Hỏi giá tiền một đôi giày, giá tiền một bộ quần áo thể thao khi chưa giảm giá là bao nhiêu?
Kết luận:
Việc nắm vững phương pháp giải toán bằng cách lập hệ phương trình không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa, mà còn trang bị cho bạn kỹ năng tư duy logic và giải quyết vấn đề trong cuộc sống thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này và tự tin chinh phục mọi thử thách!
