Câu 1. Để tìm tọa độ của một vectơ $overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$ và $overrightarrow{b} = (1; 0; 3)$, ta có thể sử dụng tích có hướng.
Tích có hướng của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ được tính như sau:
[ overrightarrow{n} = overrightarrow{a} times overrightarrow{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} 1 & 1 & -2 1 & 0 & 3 end{vmatrix} ]
[ overrightarrow{n} = (3, -5, -1) ]
Vậy đáp án đúng là D. $(3; -5; -1)$.
Câu 2. Để tìm tọa độ của vectơ $overrightarrow{c}$ là tích có hướng của hai vectơ $overrightarrow{a} = (2; 1; -2)$ và $overrightarrow{b} = (1; 0; 2)$, ta tính như sau:
[ overrightarrow{c} = overrightarrow{a} times overrightarrow{b} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} 2 & 1 & -2 1 & 0 & 2 end{vmatrix} ]
[ overrightarrow{c} = (2, -6, -1) ]
Vậy đáp án đúng là D. $overrightarrow{c} = (2; -6; -1)$.
Câu 3. Tìm tọa độ vectơ $overrightarrow{n}$ vuông góc với $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$.
$overrightarrow{AB} = (-2, -3, 8)$
$overrightarrow{AC} = (-1, 0, 6)$
[ overrightarrow{n} = overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} -2 & -3 & 8 -1 & 0 & 6 end{vmatrix} ]
[ overrightarrow{n} = (-18, 4, -3) ]
Vậy đáp án đúng là C. $overrightarrow{n} = (-18, 4, -3)$.
Câu 4. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$.
Phương trình C. $2x – 3y + 4z – 2024 = 0$ có dạng tổng quát.
Vậy đáp án đúng là C. $2x – 3y + 4z – 2024 = 0$.
Câu 5. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): 3x – y + 2z – 1 = 0$ là $(3, -1, 2)$.
Vectơ B. $overrightarrow{n} = (3, 1, 2)$ không phải là vectơ pháp tuyến của $(P)$.
Vậy đáp án là B. $overrightarrow{n} = (3, 1, 2)$.
Câu 6. Mặt phẳng (Oxyz) là mặt phẳng $z = 0$. Vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{k} = (0, 0, 1)$.
Vậy đáp án đúng là D. $overrightarrow{k} = (0, 0, 1)$.
Câu 7. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(alpha): 2x – 3y + 1 = 0$ là $(2, -3, 0)$.
Vậy đáp án đúng là C. $overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$.
Câu 8. Phương trình mặt phẳng:
[ frac{x}{-2} + frac{y}{-1} + frac{z}{3} = 1 ]
[ -3x – 6y + 2z = 6 ]
Vectơ pháp tuyến là $(-3, -6, 2)$.
Tuy nhiên, vectơ $(-2, -1, 3)$ không phải là vectơ pháp tuyến. Có vẻ như câu hỏi này bị sai.
Câu 9. Điểm nằm trên mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 2 = 0$ khi thay tọa độ vào phương trình thì thỏa mãn.
Điểm $N(1, -1, -1)$:
$2(1) – (-1) + (-1) – 2 = 0$
Vậy đáp án đúng là D. $N(1, -1, -1)$.