Phương trình lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là ở cấp trung học phổ thông. Việc nắm vững cách Giải Các Phương Trình Lượng Giác cơ bản là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa dễ hiểu để bạn có thể tự tin chinh phục dạng toán này.
Phương trình sinx = a
Phương trình sinx = a là một trong những phương trình lượng giác cơ bản nhất. Để giải phương trình này, bạn cần chú ý đến các trường hợp sau:
-
Trường hợp |a| > 1: Phương trình vô nghiệm vì giá trị của sinx luôn nằm trong khoảng [-1, 1].
-
Trường hợp |a| ≤ 1: Gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a. Khi đó, phương trình có các nghiệm là:
- x = α + k2π, k ∈ Z
- x = π – α + k2π, k ∈ Z
Nếu α thỏa mãn điều kiện -π/2 ≤ α ≤ π/2 và sinα = a thì ta viết α = arcsin a. Khi đó, các nghiệm của phương trình là:
- x = arcsina + k2π, k ∈ Z
- x = π – arcsina + k2π, k ∈ Z
Các trường hợp đặc biệt:
Phương trình cosx = a
Tương tự như phương trình sinx = a, phương trình cosx = a cũng có các trường hợp sau:
-
Trường hợp |a| > 1: Phương trình vô nghiệm vì giá trị của cosx luôn nằm trong khoảng [-1, 1].
-
Trường hợp |a| ≤ 1: Gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a. Khi đó, phương trình có các nghiệm là:
- x = α + k2π, k ∈ Z
- x = -α + k2π, k ∈ Z
Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccos a. Khi đó, các nghiệm của phương trình là:
- x = arccosa + k2π, k ∈ Z
- x = -arccosa + k2π, k ∈ Z
Các trường hợp đặc biệt:
Phương trình tanx = a
Để giải phương trình tanx = a, bạn cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm tang:
- Điều kiện: x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Nếu α thỏa mãn điều kiện -π/2 < α < π/2 và tanα = a thì ta viết α = arctan a. Khi đó, các nghiệm của phương trình là:
- x = arctana + kπ, k ∈ Z
Phương trình cotx = a
Tương tự như phương trình tanx = a, phương trình cotx = a cũng có điều kiện xác định:
- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z
Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 < α < π và cotα = a thì ta viết α = arccot a. Khi đó, các nghiệm của phương trình là:
- x = arccota + kπ, k ∈ Z
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình sinx = sin(π/6)
Giải:
Phương trình có dạng sinx = sina, với a = π/6. Vậy nghiệm của phương trình là:
- x = π/6 + k2π, k ∈ Z
- x = π – π/6 + k2π = 5π/6 + k2π, k ∈ Z
Bài 2: Giải phương trình 2cosx = 1
Giải:
Ta có cosx = 1/2. Vậy nghiệm của phương trình là:
- x = π/3 + k2π, k ∈ Z
- x = -π/3 + k2π, k ∈ Z
Bài 3: Giải phương trình tanx – 1 = 0
Giải:
Ta có tanx = 1. Vậy nghiệm của phương trình là:
- x = π/4 + kπ, k ∈ Z
Bài 4: Giải phương trình cotx = tan2x
Giải:
Điều kiện: sinx ≠ 0 và cos2x ≠ 0
Ta có cotx = 1/tanx. Vậy phương trình trở thành:
1/tanx = tan2x ⇔ tan2x.tanx = 1 ⇔ sin2x.sinx = cos2x.cosx ⇔ sin2x.sinx – cos2x.cosx = 0 ⇔ cos(2x + x) = 0 ⇔ cos3x = 0
Từ đó suy ra: 3x = π/2 + kπ ⇔ x = π/6 + kπ/3, k ∈ Z. Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải phương trình cos(3x + π) = 0
Giải:
3x + π = π/2 + kπ ⇔ 3x = -π/2 + kπ ⇔ x = -π/6 + kπ/3, k ∈ Z
Bài 2: Giải phương trình sinx.cosx = 1
Giải:
(1/2)sin2x = 1 ⇔ sin2x = 2 (vô nghiệm)
Kết luận
Việc giải các phương trình lượng giác đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về các công thức lượng giác cơ bản và khả năng biến đổi linh hoạt. Bằng cách nắm vững các phương pháp giải và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán lượng giác. Hãy nhớ rằng, chìa khóa thành công nằm ở sự kiên trì và luyện tập không ngừng!