Giải Các Bất Phương Trình Sau: Hướng Dẫn Chi Tiết và Bài Tập

Ở chương trình Toán Trung học Cơ sở, đặc biệt là lớp 8, học sinh sẽ được làm quen với nhiều kiến thức mới và quan trọng, trong đó có bất phương trình. Nắm vững cách giải bất phương trình là nền tảng quan trọng cho các lớp học tiếp theo và kỳ thi vào Trung học Phổ thông. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp để bạn luyện tập và thành thạo kỹ năng Giải Các Bất Phương Trình Sau.

A. Tổng Quan Lý Thuyết Về Bất Phương Trình

1. Bất Phương Trình Một Ẩn

• Định nghĩa: Bất phương trình một ẩn là bất phương trình có dạng f(x) > g(x), f(x) < g(x), f(x) ≥ g(x), hoặc f(x) ≤ g(x), trong đó x là ẩn số.

• Nghiệm của bất phương trình: Số x₀ là nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) nếu thay x = x₀ vào, ta được một bất đẳng thức đúng.

• Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

• Các phép biến đổi tương đương:

  • Chuyển vế: f(x) + h(x) > g(x) ⇔ f(x) > g(x) – h(x)
  • Nhân (chia) với một số:
    • f(x) > g(x) ⇔ f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x
    • f(x) > g(x) ⇔ f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x

2. Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

• Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0), với a và b là các số thực và a ≠ 0.

• Cách giải: Giải bất phương trình ax + b > 0 (1)

  • (1) ⇔ ax > -b
    • Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x > -b/a
    • Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x < -b/a
    • Nếu a = 0: xét b, nếu b>0 thì nghiệm đúng với mọi x, nếu b<0 thì vô nghiệm

3. Bất Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn

• Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c ≤ 0, trong đó a, b, c là các số thực với a ≠ 0.

• Cách giải: Giải bất phương trình bậc hai (ví dụ: ax² + bx + c > 0)

  • Bước 1: Tính Δ = b² – 4ac.
  • Bước 2: Xét dấu của a và Δ:
    • Nếu Δ < 0 và a > 0: ax² + bx + c > 0 với mọi x ∈ R.
    • Nếu Δ < 0 và a < 0: ax² + bx + c < 0 với mọi x ∈ R.
    • Nếu Δ = 0: ax² + bx + c = a(x + b/2a)². Xét dấu của a.
    • Nếu Δ > 0: Tìm hai nghiệm x₁, x₂ và xét dấu theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: 3x² + 2x + 5 > 0

Đặt f(x) = 3x² + 2x + 5, ta có f(x) > 0 và a = 3 > 0, vậy nên f(x) luôn dương

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞, +∞)

Ví dụ 2: f(x) = -2x² + 3x + 5, ta có a = -2

Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-1;5/2)

4. Tập Nghiệm Của Bất Phương Trình

• Nghiệm: Số x = x₀ là nghiệm của bất phương trình nếu thay x = x₀ vào bất phương trình, ta được một bất đẳng thức đúng.

• Tập nghiệm: Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình đó. Giải bất phương trình có nghĩa là tìm tập nghiệm của nó.

• Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Ví dụ:

• Hình 1a biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 2
• Hình 1b biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 4

5. Các Quy Tắc Biến Đổi Bất Phương Trình

• Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử đó.

• Quy tắc nhân với một số:

  • Khi nhân cả hai vế của bất phương trình với cùng một số dương, ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.
  • Khi nhân cả hai vế của bất phương trình với cùng một số âm, ta phải đổi chiều của bất phương trình.

6. Các Dạng Toán Thường Gặp và Phương Pháp Giải

• Dạng 1: Xác định nghiệm/tập nghiệm và biểu diễn trên trục số.

  • Phương pháp: Áp dụng các quy tắc chuyển vế, nhân chia để đưa bất phương trình về dạng đơn giản nhất, sau đó xác định tập nghiệm và biểu diễn trên trục số.

• Dạng 2: Xác định hai bất phương trình tương đương.

  • Phương pháp: Giải cả hai bất phương trình và so sánh tập nghiệm của chúng.

• Dạng 3: Giải bất phương trình bậc hai.

  • Phương pháp:
    1. Đưa bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, vế còn lại bằng 0.
    2. Xét dấu tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.

• Dạng 4: Giải bất phương trình tích.

  • Phương pháp:
    1. Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
    2. Xét dấu từng nhân tử và kết luận nghiệm dựa trên quy tắc xét dấu.

• Dạng 5: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.

  • Phương pháp:
    1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.
    2. Quy đồng mẫu số và khử mẫu (chú ý dấu của mẫu).
    3. Giải bất phương trình nhận được và so sánh với điều kiện xác định.

• Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm, hoặc nghiệm đúng với mọi x.

  • Phương pháp: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, tam thức bậc hai, và điều kiện để biện luận nghiệm.

• Dạng 7: Giải hệ bất phương trình.

  • Phương pháp:
    1. Giải từng bất phương trình trong hệ.
    2. Tìm giao của các tập nghiệm để được tập nghiệm của hệ.

B. Bài Tập Thực Hành Về Bất Phương Trình

I. Bài Tập Trắc Nghiệm

Câu 1: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi:

A) a ≠ 0 và b = 0
B) a > 0 và b = 0
C) a = 0 và b ≠ 0
D) a = 0 và b ≤ 0

Đáp án chính xác là: D

Câu 2: Tập nghiệm S của bất phương trình: 5x – 1 ≥ (2x/5) + 3 là?

A) S = R
B) x > 2
C) x < 20/23
D) x ≥ 20/23

Đáp án chính xác là: D

Câu 3: Bất phương trình [(3x + 5)/2] -1 ≤ [(x + 2)/3 + x] có bao nhiêu nghiệm là nghiệm nguyên lớn hơn 10?

A) 4
B) 5
C) 9
D) 10

Đáp án chính xác là: B

Câu 4: Tập nghiệm S của bất phương trình: (1 – √2)x < 1

A) x > 2
B) x > √2
C) x < √2
D) S = R

Đáp án chính xác là: B

Câu 5: Bất phương trình (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5 có tập nghiệm là?

A) x ≤ 4
B) x ≥ -2/3
C) S = R
D) S = Ø

Đáp án chính xác là: D

Câu 6: Giải bất phương trình: 2x + 4 < 16

A) x > 6
B) x < 6
C) x > 8
D) x > 8

Đáp án chính xác là: B

Câu 7: Giải bất phương trình: 8x + 4 > 2(x + 5)

A) x > 2
B) x < 1
C) x > -1
D) x > 1

Đáp án chính xác là: D

Câu 8: Giải bất phương trình: (x + 2)/3 +3x + 1 > (x – 2)/2

A) x > -6/7
B) x < -16/17
C) x > -16/17
D) x > -6/11

Đáp án chính xác là: C

Câu 9: Giải bất phương trình: (x + 2)(x – 3) > (2 – x)(6 – x)

A) x > 18/7
B) x > 11/7
C) x < 18/7
D) x < 11/7

Đáp án chính xác là: A

Câu 10: Tìm m để x = 2 là nghiệm của bất phương trình: mx + 2 < 5

A) m = 2
B) m < 3/2
C) m > 1
D) m < 1

Đáp án chính xác là: B

Câu 11: Những bất phương trình nào là bất phương trình một ẩn?

A) 2x – 3 < 0
B) 0.x + 5 > 0
C) 5x – 15 ≥ 0
D) x² > 0

Đáp án chính xác là: A và C

II. Bài Tập Tự Luận

Bài 1: Giải các bất phương trình sau (sử dụng quy tắc chuyển vế):

a) x – 3 > 5
b) 2x ≥ x + 2
c) 3x – 4 < 2x – 2
d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5
e) 3x – 5 > 2(x – 1) + x

Hướng dẫn giải:

a) x – 3 > 5 ⇔ x > 8. Tập nghiệm: S = {x | x > 8}
b) 2x ≥ x + 2 ⇔ x ≥ 2. Tập nghiệm: S = {x | x ≥ 2}
c) 3x – 4 < 2x – 2 ⇔ x < 2. Tập nghiệm: S = {x | x < 2}
d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5 ⇔ x ≥ 6. Tập nghiệm: S = {x | x ≥ 6}
e) 3x – 5 > 2(x – 1) + x ⇔ 0x > 3. Bất phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) 2x – 3 > 3(x – 2)
b) (12x + 1)/12 ≤ (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4
c) 5(x – 1) ≤ 6(x – 5/3)
d) (2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3

Hướng dẫn giải:

a) 2x – 3 > 3(x – 2) ⇔ x < 3. Tập nghiệm: S = {x | x < 3}.

b) (12x + 1)/12 ≤ (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4 ⇔ x ∈ R. Tập nghiệm: S = R.

c) 5(x – 1) ≤ 6(x – 5/3) ⇔ x ≥ 5. Tập nghiệm: S = {x | x ≥ 5}.

d) (2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3 ⇔ x ≤ 2. Tập nghiệm: S = {x | x ≤ 2}.

Bài 3: Giải các bất phương trình bậc hai một ẩn sau:

a) -3x² + 2x + 1 < 0
b) x² + x – 12 ≥ 0
c) 5x² -6√5x + 9 > 0
d) -36x² + 12x -1 ≥ 0

Hướng dẫn giải:

Bài 4: Tìm m để mọi x ∈ [-1;1] đều là nghiệm của bất phương trình:

3x² – 2(m + 5)x – m² + 2m + 8 ≤ 0

Hướng dẫn giải:

Bài viết này đã trình bày chi tiết về lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp liên quan đến giải các bất phương trình sau. Hy vọng với những kiến thức và bài tập này, bạn sẽ nắm vững và tự tin hơn khi giải quyết các bài toán về bất phương trình. Chúc bạn học tốt!