Bất phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Nắm vững cách giải bất phương trình không chỉ giúp bạn đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, kỳ thi mà còn là nền tảng để học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách giải các loại bất phương trình thường gặp, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
A. Lý Thuyết Cần Nắm Vững
1. Bất Phương Trình Một Ẩn
Bất phương trình một ẩn có dạng tổng quát là f(x) > g(x) (hoặc f(x) < g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x)), trong đó x là ẩn số.
- Nghiệm của bất phương trình: Một số x₀ được gọi là nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) nếu khi thay x = x₀ vào bất phương trình, ta được một bất đẳng thức đúng.
- Tập nghiệm: Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
- Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
- Phép biến đổi tương đương: Là phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương.
Các quy tắc biến đổi tương đương thường dùng:
- Chuyển vế: f(x) + h(x) > g(x) ⇔ f(x) > g(x) – h(x)
- Nhân (chia):
- f(x) > g(x) ⇔ f(x) .h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x
- f(x) > g(x) ⇔ f(x) .h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x
2. Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0), trong đó a và b là các số thực, a ≠ 0.
Cách giải bất phương trình ax + b > 0 (1):
(1) ⇔ ax > -b
- Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x > -b/a.
- Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x < -b/a.
3. Bất Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax² + bx + c > 0 (hoặc ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c ≤ 0), trong đó a, b, c là các số thực với a ≠ 0.
Cách giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c > 0:
- Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0.
- Bước 2: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c.
- Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu, kết luận nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ: Giải bất phương trình 3x² + 2x + 5 > 0
Đặt f(x) = 3x² + 2x + 5. Vì a = 3 > 0 và Δ = 2² – 435 < 0, nên f(x) > 0 với mọi x.
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞, +∞).
4. Tập Nghiệm Của Bất Phương Trình
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các giá trị của ẩn số thỏa mãn bất phương trình đó. Để biểu diễn tập nghiệm, ta có thể sử dụng ký hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng hoặc biểu diễn trên trục số.
Ví dụ:
- Hình 1a biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 2
- Hình 1b biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 4
5. Quy Tắc Chuyển Vế và Nhân Với Một Số
- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số:
- Khi nhân cả hai vế của bất phương trình với cùng một số dương, ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.
- Khi nhân cả hai vế của bất phương trình với cùng một số âm, ta phải đổi chiều của bất phương trình.
6. Các Dạng Toán Thường Gặp và Phương Pháp Giải
- Dạng 1: Xác định nghiệm hoặc tập nghiệm của một bất phương trình và biểu diễn trên trục số.
- Phương pháp: Sử dụng các quy tắc chuyển vế, nhân với một số và các phép biến đổi đại số để đưa bất phương trình về dạng đơn giản, từ đó xác định nghiệm hoặc tập nghiệm.
- Dạng 2: Xác định hai bất phương trình tương đương.
- Phương pháp: Kiểm tra xem hai bất phương trình có cùng tập nghiệm hay không.
- Dạng 3: Giải bất phương trình bậc hai.
- Phương pháp: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng, lập bảng xét dấu và kết luận nghiệm.
- Dạng 4: Giải bất phương trình tích.
- Phương pháp: Tìm nghiệm của từng nhân tử, lập bảng xét dấu và kết luận nghiệm.
- Dạng 5: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Phương pháp: Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu số và giải bất phương trình thu được. Lưu ý loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác định.
- Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x.
- Phương pháp: Sử dụng các tính chất của biểu thức (ví dụ: bình phương luôn không âm, giá trị tuyệt đối luôn không âm) và các kiến thức về bất phương trình để tìm điều kiện của tham số.
- Dạng 7: Giải hệ bất phương trình.
- Phương pháp: Giải từng bất phương trình trong hệ, sau đó tìm giao của các tập nghiệm.
B. Bài Tập Vận Dụng
I. Trắc Nghiệm
Câu 1: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi:
A) a ≠ 0 và b = 0
B) a > 0 và b = 0
C) a = 0 và b ≠ 0
D) a = 0 và b ≤ 0
Đáp án chính xác là: D
Câu 2: Tập nghiệm S của bất phương trình: 5x – 1 ≥ (2x/5) + 3 là?
A) S = R
B) x > 2
C) x < 20/23
D) x ≥ 20/23
Đáp án chính xác là: D
Câu 3: Bất phương trình [(3x + 5)/2] -1 ≤ [(x + 2)/3 + x] có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn 10?
A) 4
B) 5
C) 9
D) 10
Đáp án chính xác là: B
Câu 4: Tập nghiệm S của bất phương trình: (1 – √2)x < √2 – 2 là:
A) x > 2
B) x > √2
C) x < √2
D) S = R
Đáp án chính xác là: B
Câu 5: Bất phương trình (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5 có tập nghiệm là?
A) x < -2/3
B) x ≥ -2/3
C) S = R
D) S = Ø
Đáp án chính xác là: D
II. Tự Luận
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) x – 3 > 5
b) 2x ≥ x + 2
c) 3x – 4 < x – 2
d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5
e) 3x – 5 > 2(x – 1) + x
Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) 2x – 3 > 3(x – 2)
b) (12x + 1)/12 ≤ (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4
c) 5(x – 1) ≤ 6(x – 5/3)
d) (2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3
Bài 3: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) -3x² + 2x + 1 < 0
b) x² + x – 12 ≥ 0
c) 5x² -6√5x + 9 > 0
d) -36x² + 12x -1 ≥ 0
Bài 4: Tìm m để mọi x ∈ [-1;1] đều là nghiệm của bất phương trình:
3x² – 2(m + 5)x – m² + 2m + 8 ≤ 0
Để giải tốt các bài tập về bất phương trình, bạn cần nắm vững lý thuyết, các quy tắc biến đổi và luyện tập thường xuyên. Chúc bạn thành công!
