Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Trên Đoạn: Phương Pháp Giải và Bài Tập Áp Dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải quyết bài toán này một cách chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.

Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]:

1. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x). Đạo hàm giúp xác định các điểm cực trị của hàm số.

2. Tìm các điểm tới hạn (nghiệm của phương trình f'(x) = 0) và các điểm mà tại đó f'(x) không xác định nằm trong khoảng (a; b). Đây là các điểm tiềm năng mà tại đó hàm số có thể đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

3. Tính giá trị của hàm số f(x) tại các điểm tới hạn tìm được ở bước 2 và tại hai đầu mút a và b của đoạn [a; b].

4. So sánh các giá trị tính được ở bước 3. Giá trị nhỏ nhất trong số đó chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Ví dụ minh họa:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁵ – 5x⁴ + 5x³ + 1 trên đoạn [-1; 2].

Giải:

1. Tính đạo hàm:
   y’ = 5x⁴ – 20x³ + 15x²

2. Tìm điểm tới hạn:
   Giải phương trình y’ = 0, ta có:
   5x⁴ – 20x³ + 15x² = 0
   ⇔ 5x²(x² – 4x + 3) = 0
   ⇔ 5x²(x – 1)(x – 3) = 0
   ⇔ x = 0, x = 1, x = 3
   Trong đó, x = 0 và x = 1 thuộc đoạn [-1; 2], còn x = 3 không thuộc đoạn này.

3. Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút:

   • f(-1) = (-1)⁵ – 5(-1)⁴ + 5(-1)³ + 1 = -1 – 5 – 5 + 1 = -10
   • f(0) = 0⁵ – 5(0)⁴ + 5(0)³ + 1 = 1
   • f(1) = 1⁵ – 5(1)⁴ + 5(1)³ + 1 = 1 – 5 + 5 + 1 = 2
   • f(2) = 2⁵ – 5(2)⁴ + 5(2)³ + 1 = 32 – 80 + 40 + 1 = -7

4. So sánh và kết luận:
   Trong các giá trị -10, 1, 2, -7, giá trị nhỏ nhất là -10.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁵ – 5x⁴ + 5x³ + 1 trên đoạn [-1; 2] là -10.

Các trường hợp đặc biệt:

• Nếu hàm số đơn điệu trên đoạn [a; b] (luôn tăng hoặc luôn giảm), thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại một trong hai đầu mút a hoặc b.
• Nếu không tìm được điểm tới hạn nào trong khoảng (a; b), thì giá trị nhỏ nhất của hàm số cũng đạt được tại một trong hai đầu mút a hoặc b.

Bài tập tự luyện:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 35 trên đoạn [-4; 4].
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 25/(x – 3) trên khoảng (3; +∞). Lưu ý cần xét sự biến thiên của hàm số khi x tiến đến 3 từ bên phải.
3. Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 6. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 3] bằng 2.

Lời khuyên:

• Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để nắm vững phương pháp.
• Sử dụng đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả và hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số.
• Chú ý đến các trường hợp đặc biệt để giải bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.

Chúc các bạn học tốt!