Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết, Bài Tập và Ứng Dụng

Để chinh phục các bài toán liên quan đến Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số, việc nắm vững lý thuyết cơ bản và các dạng bài tập thường gặp là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, từ định nghĩa, phương pháp tìm kiếm đến các ứng dụng thực tế.

1. Định Nghĩa và Lý Thuyết Cơ Bản

Giá trị nhỏ nhất của hàm số, ký hiệu là min f(x), trên một tập hợp D là một số m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại ít nhất một x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m. Nói cách khác, m là giá trị nhỏ nhất mà hàm số đạt được trên tập hợp D.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

2. Các Dạng Bài Tập Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Thường Gặp

Dưới đây là một số dạng bài tập điển hình về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, cùng với phương pháp giải chi tiết:

2.1. Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Trên Một Đoạn

Phương pháp:

1. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
2. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định) trong đoạn đang xét.
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút của đoạn.
4. So sánh các giá trị này và chọn ra giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² – 4x + 5 trên đoạn [0; 3].

• y’ = 2x – 4.
• y’ = 0 khi x = 2 (thuộc [0; 3]).
• y(0) = 5, y(2) = 1, y(3) = 2.
• Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là 1.

2.2. Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Trên Một Khoảng

Phương pháp tương tự như trên đoạn, nhưng cần chú ý đến giới hạn của hàm số khi x tiến đến các đầu mút của khoảng (nếu khoảng là vô hạn). Bảng biến thiên đóng vai trò quan trọng trong việc xác định giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4/x trên khoảng (0; +∞).

• y’ = 1 – 4/x².
• y’ = 0 khi x = 2 (thuộc (0; +∞)).
• lim (x→0⁺) y = +∞, lim (x→+∞) y = +∞.
• y(2) = 4.
• Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (0; +∞) là 4.

2.3. Ứng Dụng Giá Trị Nhỏ Nhất Trong Bài Toán Thực Tế

Nhiều bài toán thực tế yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó. Để giải quyết, ta thường cần xây dựng hàm số biểu diễn đại lượng đó và sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này.

Ví dụ: Một người muốn rào một khu vườn hình chữ nhật với diện tích 100 m². Hỏi chiều dài và chiều rộng của khu vườn phải là bao nhiêu để số mét hàng rào là ít nhất?

• Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn là x và y.
• Diện tích: xy = 100.
• Chu vi (số mét hàng rào): P = 2x + 2y = 2x + 200/x.
• Tìm giá trị nhỏ nhất của P trên khoảng (0; +∞).
• P’ = 2 – 200/x².
• P’ = 0 khi x = 10.
• Vậy, chiều dài và chiều rộng của khu vườn phải là 10m để số mét hàng rào là ít nhất.

2.4. Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác

Đối với hàm số lượng giác, ta thường sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về dạng đơn giản hơn, hoặc đặt ẩn phụ để chuyển về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thông thường.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²x + 2cosx.

• y = 1 – cos²x + 2cosx = -cos²x + 2cosx + 1.
• Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1].
• y = -t² + 2t + 1.
• Tìm giá trị nhỏ nhất của y trên đoạn [-1; 1].

3. Các Lưu Ý Quan Trọng

• Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số.
• Chú ý đến các điểm không liên tục của hàm số.
• Khi sử dụng bất đẳng thức, cần kiểm tra dấu bằng xảy ra.
• Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

Nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc bạn thành công!