Vectơ là một khái niệm toán học quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Để hiểu rõ về vectơ, việc nắm vững khái niệm “Giá Của Vectơ” là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về giá của vectơ, cùng với các khái niệm liên quan và bài tập minh họa.
1. Định nghĩa vectơ:
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, thể hiện cả độ dài và hướng. Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là $overrightarrow{AB}$.
2. Giá của vectơ:
Giá của một vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Nói cách khác, giá của vectơ $overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB.
Hình ảnh minh họa đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ.
3. Độ dài của vectơ:
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ $overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là |$overrightarrow{AB}$|.
4. Các khái niệm liên quan:
-
Vectơ – không: Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Nó được kí hiệu là $overrightarrow{0}$. Vectơ – không có độ dài bằng 0 và không có hướng xác định.
-
Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
-
Hai vectơ cùng hướng: Hai vectơ cùng phương được gọi là cùng hướng nếu chúng chỉ về cùng một hướng.
-
Hai vectơ ngược hướng: Hai vectơ cùng phương được gọi là ngược hướng nếu chúng chỉ về hai hướng ngược nhau.
-
Hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
-
Hai vectơ đối nhau: Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài.
Ví dụ về các vectơ cùng hướng, ngược hướng trong hình bình hành ABCD.
5. Bài tập minh họa:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hãy xác định các cặp vectơ cùng phương, cùng hướng và ngược hướng.
Giải:
Do ABCD là hình bình hành, ta có AB // DC và AD // BC.
-
Các cặp vectơ cùng hướng: $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{DC}$, $overrightarrow{BA}$ và $overrightarrow{CD}$, $overrightarrow{AD}$ và $overrightarrow{BC}$, $overrightarrow{DA}$ và $overrightarrow{CB}$.
-
Các cặp vectơ ngược hướng: $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{BA}$, $overrightarrow{DC}$ và $overrightarrow{CD}$, $overrightarrow{AD}$ và $overrightarrow{DA}$, $overrightarrow{BC}$ và $overrightarrow{CB}$.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Từ I vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Chứng minh rằng $overrightarrow{IH} = overrightarrow{KA}$.
Sơ đồ tam giác vuông ABC với trung điểm I và các đường vuông góc IH, IK.
Giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A.
- IH ⊥ AB tại H và AC ⊥ AB tại A ⇒ IH // AC (1)
Áp dụng định lý Ta-lét:
$frac{IH}{AC} = frac{BI}{BC} = frac{1}{2} Rightarrow IH = frac{1}{2}AC$ (2)
- IK ⊥ AC tại K và AB ⊥ AC tại A ⇒ IK // AB
Áp dụng định lý Ta-lét:
$frac{AK}{AB} = frac{CI}{CB} = frac{1}{2} Rightarrow AK = frac{1}{2}AB$ (3)
-
Từ (2) và (3) ta có: IH = AK (4)
-
Từ (1) và (4) ta có: $overrightarrow{IH} = overrightarrow{KA}$ (điều phải chứng minh).
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của AB, AB = 2a, AD = a. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{MD}$.
Hình ảnh minh họa hình chữ nhật ABCD với trung điểm M trên AB.
Giải:
-
M là trung điểm của AB ⇒ MA = $frac{1}{2}$AB = $frac{1}{2}$.2a = a
-
Xét tam giác ADM vuông tại A.
Áp dụng định lý Py-ta-go:
MD2 = MA2 + AD2 = a2 + a2 = 2a2
⇒ MD = $asqrt{2}$
⇒ |$overrightarrow{MD}$| = $asqrt{2}$.
6. Bài tập tự luyện:
-
Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương thì $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng hướng.
B. Nếu $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng hướng thì $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương.
C. Nếu $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ bằng nhau thì $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ ngược hướng.
D. Nếu $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ đối nhau thì $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng hướng.
-
Nhận định nào sau đây là đúng về vectơ?
A. Vectơ chỉ là một đoạn thẳng không có hướng.
B. Vectơ là một đường thẳng.
C. Vectơ là đoạn thẳng có hướng, điểm đầu và điểm cuối được xác định rõ.
D. Điểm đầu điểm cuối của vectơ thay đổi thì vectơ không đổi.
Kết luận:
Hiểu rõ khái niệm giá của vectơ là nền tảng quan trọng để nắm vững các kiến thức về vectơ và ứng dụng của chúng. Bài viết này đã cung cấp đầy đủ các định nghĩa, tính chất và bài tập minh họa, giúp bạn đọc dễ dàng tiếp cận và làm chủ kiến thức về giá của vectơ. Hãy luyện tập thêm các bài tập khác để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
