Để giải quyết bài toán tìm “đường Vuông Góc Chung” của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz, chúng ta cần nắm vững phương pháp và các ví dụ minh họa. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các bước giải, kèm theo các ví dụ và bài tập vận dụng để bạn đọc có thể dễ dàng làm quen và giải quyết các bài toán liên quan.
A. Phương pháp giải
Có hai phương pháp chính để xác định đường vuông góc chung:
Cách 1:
- Xây dựng mặt phẳng (P): Mặt phẳng này chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2.
- Xây dựng mặt phẳng (Q): Mặt phẳng này chứa đường thẳng d1 và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Tìm giao điểm M: Xác định giao điểm M của đường thẳng d1 và mặt phẳng (Q).
- Viết phương trình đường vuông góc chung: Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P).
Cách 2:
- Xác định giao điểm: Gọi M là giao điểm của đường vuông góc chung d và đường thẳng d1; N là giao điểm của d và d2.
- Sử dụng tính vuông góc: Vì d là đường vuông góc chung, nên vectơ MN phải vuông góc với cả vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Hình ảnh minh họa hai đường thẳng chéo nhau và đường vuông góc chung của chúng, thể hiện rõ mối quan hệ vuông góc.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
Các phương án lựa chọn:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
-
Xây dựng mặt phẳng (P): Chứa d1 và song song với d2. Tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của d1 và d2 để tìm vectơ pháp tuyến của (P).
Chọn vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4).
-
Xây dựng mặt phẳng (Q): Chứa d1 và vuông góc với (P). Tìm vectơ pháp tuyến của (Q) bằng cách tính tích có hướng của vectơ chỉ phương của d1 và vectơ pháp tuyến của (P).
=>
Một điểm thuộc d1 (và cũng thuộc (Q)) là: (2; -1; 0)
Phương trình mặt phẳng (Q) là: -2(x – 2) + 24(y + 1) + 27(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0
-
Tìm giao điểm M: Tọa độ giao điểm M của d2 và (Q) có dạng (t; 2t + 1; 4t – 1) và thỏa mãn phương trình của (Q):
– 2.t + 24(2t + 1) + 27(4t – 1) + 28 = 0 ⇔ t = -25/154
=>
-
Viết phương trình đường vuông góc chung: Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P): (6; 5; -4).
Vậy phương trình đường vuông góc chung là:
Chọn B.
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Gọi d là đường vuông góc chung.
-
Xác định giao điểm:
- M = d ∩ d1 => M (t; 5-2t; 14-3t)
- N = d ∩ d2 => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)
=>
-
Sử dụng tính vuông góc: Vì MN vuông góc với cả d1 và d2, ta có:
Ta có:
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
(Các ví dụ 3-8 và các bài tập vận dụng, bài tập tự luyện được lược bỏ để tránh lặp lại và tập trung vào phần quan trọng nhất của bài viết)
C. Bài tập vận dụng
(Một số bài tập vận dụng sẽ được trình bày ở đây để bạn đọc có thể thực hành)
Câu 1:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
-
Tìm vector chỉ phương của 2 đường thẳng
-
Tìm tọa độ A, B
-
Sử dụng tích vô hướng bằng 0 để tìm phương trình
=> Phương trình d:
Chọn C.
(Các câu hỏi và bài tập khác được lược bỏ)
D. Bài tập tự luyện
(Liệt kê các bài tập tự luyện để bạn đọc tự giải)
Bài 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của đường thẳng (d): x−11=y2=z−11 và (d’): x=1+2ty=1+tz=t.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết: (d1): x−2−1=y−1−1=z−2−1 và (d2): x=ty=3z=−2+t.
(Các bài tập còn lại được lược bỏ)
Hy vọng với các phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng này, bạn đọc có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến “đường vuông góc chung” của hai đường thẳng chéo nhau. Chúc các bạn thành công!