Trong hình học giải tích, việc xác định một đường tròn có tiếp xúc với trục Ox (hoành độ) là một bài toán quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức này.
A. Phương pháp xác định đường tròn tiếp xúc trục Ox
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R. Để đường tròn (C) tiếp xúc với trục Ox, điều kiện cần và đủ là khoảng cách từ tâm I đến trục Ox phải bằng bán kính R.
Vì phương trình của trục Ox là y = 0, nên khoảng cách từ I(a; b) đến trục Ox là |b|. Vậy, đường tròn (C) tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi:
|b| = R
Alt text: Hình ảnh minh họa đường tròn (C) có tâm I(a; b) tiếp xúc với trục Ox tại một điểm duy nhất, thể hiện rõ khoảng cách từ tâm I đến trục Ox bằng |b| và bằng bán kính R.
Lưu ý:
- Trục Oy (trục tung) có phương trình x = 0. Đường tròn (C) tiếp xúc với trục Oy khi và chỉ khi |a| = R.
- Đường tròn (C) tiếp xúc với cả hai trục tọa độ Ox và Oy khi và chỉ khi |a| = |b| = R.
Để tính khoảng cách từ một điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0, ta sử dụng công thức:
d(M; d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
Alt text: Công thức toán học để tính khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0, với chú thích rõ ràng các thành phần.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm phương trình đường tròn (C) có tâm I(-4; 3) và tiếp xúc với trục tung.
Giải:
Vì đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung (Oy), ta có R = |a| = |-4| = 4.
Phương trình đường tròn (C) là: (x + 4)² + (y – 3)² = 16.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (a² + b² – c > 0). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. (C) có bán kính R = √(a² + b² – c)
B. (C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi b² = R²
C. (C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi a = R
D. (C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi a² = c
Giải:
Ta xét phương án C:
Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung (Oy) khi và chỉ khi d(I, Oy) = R ⇔ |a| = R.
Do đó, đáp án C sai vì nếu a = -9 thì R = |-9| = 9, không phải R = a = -9.
Chọn C.
Ví dụ 3: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?
A. x² + y² – 2x – 10y = 0
B. x² + y² + 6x + 5y + 9 = 0
C. x² + y² – 10y + 1 = 0
D. x² + y² – 5 = 0
Giải:
Đường tròn có phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi |b| = R, với R = √(a² + b² – c).
- Phương án A: a = 1, b = 5, c = 0 => R = √26. |b| ≠ R.
- Phương án B: a = -3, b = -5/2, c = 9 => R = √(9 + 25/4 – 9) = 5/2. |b| = R.
- Phương án C: a = 0, b = 5, c = 1 => R = √(0 + 25 – 1) = √24. |b| ≠ R.
- Phương án D: a = 0, b = 0, c = -5 => R = √5. |b| ≠ R.
Vậy, chỉ có đường tròn ở phương án B tiếp xúc với trục Ox.
Chọn B.
Alt text: Hình ảnh minh họa một ví dụ cụ thể về đường tròn tiếp xúc với trục Ox, giúp người đọc dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về khái niệm.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm điều kiện của m để đường tròn (x – m)² + y² = 4 tiếp xúc với trục Ox.
Câu 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(2; -3) và tiếp xúc với trục Ox.
Câu 3: Trong các đường tròn sau, đường tròn nào tiếp xúc với trục Ox:
A. (x – 1)² + (y – 2)² = 1
B. (x + 1)² + (y + 2)² = 4
C. (x – 3)² + (y + 3)² = 9
D. (x + 2)² + (y – 4)² = 16
Câu 4: Cho đường tròn (C): x² + y² – 4x + 2my + m² = 0. Tìm m để đường tròn (C) tiếp xúc với trục Ox.
Câu 5: Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x-2)² + (y+4)² = 25, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0.
Câu 6: Cho đường tròn (C) đi qua điểm A(2;4) và tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là gì?
Câu 7: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆: 3x + 4y + 3 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C): (x – m)² + y² = 9?
Câu 8: Đường tròn x² + y² – 4x – 2y + 1 = 0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
Kết luận
Việc nắm vững phương pháp và thực hành giải các bài tập về đường tròn tiếp xúc với trục Ox sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo dạng toán này. Chúc bạn thành công!