Trong toán học, đường thẳng có dạng phương trình y = ax + b là một trong những khái niệm cơ bản của hình học giải tích. Đặc biệt, trường hợp đường thẳng này đi qua gốc tọa độ O(0; 0) có nhiều ứng dụng quan trọng. Vậy điều kiện để đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ là gì?
Điều kiện để đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ
Đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tọa độ của gốc tọa độ O(0; 0) thỏa mãn phương trình của đường thẳng. Điều này có nghĩa là khi thay x = 0 và y = 0 vào phương trình y = ax + b, ta phải được một đẳng thức đúng.
Thay x = 0 và y = 0 vào phương trình y = ax + b, ta có:
0 = a * 0 + b
0 = b
Vậy, điều kiện cần và đủ để đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ là b = 0. Khi đó, phương trình đường thẳng trở thành y = ax.
Ý nghĩa hình học của đường thẳng y = ax
Khi b = 0, phương trình đường thẳng trở thành y = ax. Đường thẳng này luôn đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc là a. Hệ số góc a quyết định độ dốc của đường thẳng so với trục hoành Ox.
- Nếu
a > 0, đường thẳng tạo với trục Ox một góc nhọn và hàm số đồng biến. - Nếu
a < 0, đường thẳng tạo với trục Ox một góc tù và hàm số nghịch biến. - Nếu
a = 0, đường thẳng trùng với trục Ox.
Các bài toán liên quan đến đường thẳng đi qua gốc tọa độ
Bài toán 1: Xác định hàm số y = ax + b đi qua gốc tọa độ và một điểm cho trước
Ví dụ: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua gốc tọa độ và điểm A(3; 2).
Giải:
Vì đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên b = 0. Phương trình đường thẳng có dạng y = ax.
Vì đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) nên thay x = 3 và y = 2 vào phương trình, ta có:
2 = a * 3
a = 2/3
Vậy hàm số cần tìm là y = (2/3)x.
Bài toán 2: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng đi qua gốc tọa độ
Ví dụ: Cho đường thẳng y = (m + 1)x + k. Tìm giá trị của k để đường thẳng này đi qua gốc tọa độ.
Giải:
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ khi b = 0. Trong trường hợp này, b = k.
Vậy để đường thẳng y = (m + 1)x + k đi qua gốc tọa độ thì k = 0. Khi đó, phương trình đường thẳng trở thành y = (m + 1)x.
Bài toán 3: Ứng dụng trong các bài toán thực tế
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế, ví dụ như:
- Tính quãng đường đi được theo thời gian: Nếu vận tốc không đổi, quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian, và đồ thị biểu diễn mối quan hệ này là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
- Tính chi phí sản xuất theo số lượng sản phẩm: Nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là cố định, tổng chi phí sẽ tỉ lệ thuận với số lượng sản phẩm, và đồ thị biểu diễn mối quan hệ này là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x.
Vì hàm số có dạng y = ax (với a = 2) nên đồ thị của nó là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0). Ta chỉ cần tìm thêm một điểm nữa để vẽ đường thẳng.
Chọn x = 1, ta có y = 2 * 1 = 2. Vậy đồ thị đi qua điểm A(1; 2).
Đồ thị hàm số y=2x đi qua gốc tọa độ và điểm A(1;2), thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa x và y.
Bài 2: Cho hàm số y = (m+1)x. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua A(1; 2).
Vì đồ thị hàm số y=(m+1)x đi qua A(1; 2) nên thay x=1; y=2 vào phương trình, ta được: 2=(m+1).1. Từ đó suy ra m=1
Vậy m=1.
Kết luận
Đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi b = 0. Khi đó, phương trình đường thẳng trở thành y = ax, biểu diễn một mối quan hệ tỉ lệ thuận giữa y và x. Việc nắm vững kiến thức này giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hàm số bậc nhất và ứng dụng của nó trong thực tế.
