Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định và viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức về đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng (oxy).
Phương Pháp Xác Định Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng (Oxy)
Để viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxy), chúng ta cần xác định hai yếu tố chính:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxy), vectơ chỉ phương của nó sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
- Một điểm thuộc đường thẳng: Điểm này thường được cho trước trong đề bài.
Các Bước Giải Chi Tiết
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0, do đó vectơ pháp tuyến của nó là n = (0; 0; 1).
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vì đường thẳng vuông góc với (Oxy), vectơ chỉ phương u của đường thẳng có thể chọn là u = n = (0; 0; 1).
- Viết phương trình đường thẳng: Sử dụng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng (nếu có thể).
-
Phương trình tham số:
x = x₀ + at
y = y₀ + bt
z = z₀ + ct
Trong đó (x₀; y₀; z₀) là tọa độ điểm thuộc đường thẳng và (a; b; c) là tọa độ vectơ chỉ phương.
-
Phương trình chính tắc:
(x – x₀)/a = (y – y₀)/b = (z – z₀)/c
Điều kiện để viết được phương trình chính tắc là a, b, c khác 0.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
Giải:
-
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến n = (0; 0; 1).
-
Đường thẳng d vuông góc với (Oxy) nên có vectơ chỉ phương u = (0; 0; 1).
-
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
x = 1 + 0t = 1
y = 2 + 0t = 2
z = 3 + 1t = 3 + t
Vậy phương trình đường thẳng d là: x = 1, y = 2, z = 3 + t.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; -1; 5). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
Giải:
- Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0, suy ra vectơ pháp tuyến là n = (0; 0; 1).
- Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (Oxy) nhận n = (0; 0; 1) làm vectơ chỉ phương.
- Phương trình tham số của đường thẳng là: x = 2; y = -1; z = 5 + t.
Hình ảnh minh họa phương trình tham số của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, áp dụng vào ví dụ cụ thể.
Các Trường Hợp Đặc Biệt
Tương tự, ta có các trường hợp đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng tọa độ khác:
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxz): Vectơ chỉ phương u = (0; 1; 0).
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oyz): Vectơ chỉ phương u = (1; 0; 0).
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(3; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz).
Giải:
- Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến n = (0; 1; 0).
- Đường thẳng vuông góc với (Oxz) nên có vectơ chỉ phương u = (0; 1; 0).
- Phương trình tham số của đường thẳng là: x = 3; y = -2 + t; z = 1.
Bài Tập Vận Dụng
- Viết phương trình đường thẳng đi qua C(-1; 4; -3) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz).
- Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
- Cho điểm D(5; -2; 0). Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (Oxz).
Kết Luận
Hiểu rõ phương pháp xác định và viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxy) là rất quan trọng trong chương trình hình học không gian. Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập các ví dụ, bạn sẽ dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các bạn học tốt!
