Đường Thẳng và Mặt Phẳng Trong Không Gian: Quan Hệ Song Song

Đại Cương Về Đường Thẳng và Mặt Phẳng

1. Các Tiên Đề Cơ Bản của Hình Học Không Gian

• Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt bất kỳ, có duy nhất một đường thẳng đi qua.
• Tiên đề 2: Qua ba điểm không thẳng hàng bất kỳ, có duy nhất một mặt phẳng đi qua.
• Tiên đề 3: Luôn tồn tại bốn điểm không đồng phẳng.
• Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung, chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung đó.
• Tiên đề 5: Các định lý và tính chất của hình học phẳng đều đúng trong mỗi mặt phẳng của không gian.

Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng, mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

2. Các Cách Xác Định Mặt Phẳng

• Cách 1: Một mặt phẳng được xác định khi biết ba điểm A, B, C không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó, ký hiệu (ABC).
• Cách 2: Một mặt phẳng được xác định khi biết một đường thẳng d và một điểm A không thuộc d, ký hiệu (A, d).
• Cách 3: Một mặt phẳng được xác định khi biết hai đường thẳng a, b cắt nhau, ký hiệu (a, b).
• Cách 4: Một mặt phẳng được xác định khi biết hai đường thẳng a, b song song, ký hiệu (a, b).

3. Hình Chóp và Tứ Diện

Định nghĩa: Cho đa giác A1A2…An và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh A1, A2,…, An ta được n tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAn-1An. Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2A3…An được gọi là hình chóp S.A1A2A3…An.

Trong đó:

• S là đỉnh của hình chóp.
• A1A2…An là mặt đáy của hình chóp.
• A1A2, A2A3, …, An-1An là các cạnh đáy của hình chóp.
• SA1, SA2,…, SAn là các cạnh bên của hình chóp.
• SA1A2, SA2A3,…,SAn-1An là các mặt bên của hình chóp.

Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Hai Đường Thẳng Chéo Nhau và Hai Đường Thẳng Song Song

1. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng Phân Biệt

Cho hai đường thẳng a và b. Dựa vào tính đồng phẳng và số điểm chung, ta có các trường hợp sau:

• a. Hai đường thẳng song song: Cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

• b. Hai đường thẳng cắt nhau: Chỉ có một điểm chung. a cắt b ⇔ a ∩ b = I.

• c. Hai đường thẳng trùng nhau: Có vô số điểm chung (tức là mọi điểm trên đường thẳng này đều thuộc đường thẳng kia).

• d. Hai đường thẳng chéo nhau: Không cùng thuộc một mặt phẳng. a chéo b khi và chỉ khi a, b không đồng phẳng.

2. Hai Đường Thẳng Song Song

• Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
• Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí: (về giao tuyến của hai mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Đường Thẳng và Mặt Phẳng Song Song

1. Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng và Mặt Phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Dựa vào số điểm chung, ta có các trường hợp sau:

• a. Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P): Không có điểm chung. a ∩ (P) = ∅ ⇔ a // (P).

• b. Đường thẳng a cắt mặt phẳng (P): Chỉ có một điểm chung. a ∩ (P) = A ⇔ a cắt (P) tại A.

• c. Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P): Có vô số điểm chung (tức là mọi điểm trên a đều thuộc (P)). a ∩ (P) = {A, B} ⇔ a ∈ (P).

2. Điều Kiện Để Một Đường Thẳng Song Song Với Một Mặt Phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).

a ∉ (P) và a // d ∈ (P) ⇒ a // (P).

3. Tính Chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.

Hai Mặt Phẳng Song Song

1. Vị Trí Tương Đối Của Hai Mặt Phẳng Phân Biệt

Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q). Dựa vào số đường thẳng chung, ta có ba trường hợp sau:

• a. Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song: Không có đường thẳng chung. (P) ∩ (Q) = ∅ ⇔ (P) // (Q).

• b. Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau: Chỉ có một đường thẳng chung. (P) ∩ (Q) = a ⇔ (P) cắt (Q).

• c. Hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau: Có vô số đường thẳng chung (tức là mọi điểm trên (P) đều thuộc (Q) và ngược lại). (P) ∩ (Q) = {a, b} ⇔ (P) ≡ (Q).

2. Điều Kiện Để Hai Mặt Phẳng Song Song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song (Q).

3. Tính Chất

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (P) song song với (Q).

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

4. Hình Lăng Trụ và Hình Hộp

Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Trong đó:

• Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
• Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
• Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:

• Các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.
• Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

• Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
• Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

5. Hình Chóp Cụt

Định nghĩa: Cho hình chóp S.A1A2…An. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh SA1, SA2,…, SAn theo thứ tự tại A’1, A’2,…, A’n. Hình tạo bởi thiết diện A’1A’2…A’n và đáy A1A2…An của hình chóp cùng với các mặt bên A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…, AnA1A’1A’n gọi là một hình chóp cụt.

Trong đó:

• Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
• Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
• Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như A1A’1, A2A’2,…, AnA’n gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…

Tính chất:

1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

Phép Chiếu Song Song. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian

1. Phép Chiếu Song Song

• Cho đường thẳng Δ và mặt phẳng (α). Lấy một điểm M trong không gian.
• Từ M dựng đường thẳng d (d // Δ hoặc d ≡ Δ). Đường thẳng d ∩ (α) = {M’}.
• Ta nói M’ là hình chiếu của M theo phép chiếu song song lên mặt phẳng (α) theo phương Δ.
• Kí hiệu CHΔ(α) (M) = M’.

2. Tính Chất

• Bảo toàn sự thẳng hàng và thứ tự các điểm.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
• Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

3. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian Trên Mặt Phẳng

• Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó lên mặt phẳng hoặc đồng dạng với hình chiếu đó.
• Hình biểu diễn của tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều thường là một tam giác bất kỳ.
• Hình biểu diễn của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông thường là hình bình hành.
• Hình biểu diễn của hình thang là một hình thang.
• Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip hay hình tròn.