Trong chương trình toán lớp 9, bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol là một chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Việc nắm vững phương pháp giải và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về chủ đề này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
A. Phương Pháp Giải Tổng Quát Bài Toán Đường Thẳng Parabol
Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Để tìm giao điểm của đường thẳng và parabol, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
ax² = mx + n ⇔ ax² – mx – n = 0 (*)
Phương trình (*) là một phương trình bậc hai một ẩn.
Bước 2: Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Số nghiệm của phương trình (*) tương ứng với số giao điểm của đường thẳng và parabol. Ta xét biệt thức Δ của phương trình:
Δ = b² – 4ac = m² + 4an
- Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt, tức là đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
- Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép, tức là đường thẳng tiếp xúc với parabol tại một điểm duy nhất.
- Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm, tức là đường thẳng và parabol không có điểm chung.
Bước 3: Xét các điều kiện về vị trí tương đối của giao điểm (nếu có).
Dựa vào yêu cầu bài toán, ta có thể cần xét thêm các điều kiện liên quan đến vị trí của các giao điểm so với trục hoành, trục tung, hoặc một điểm nào đó.
Ví dụ:
- Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 hay a.(-n) < 0 ⇔ an > 0
Hình ảnh minh họa đường thẳng cắt parabol tại hai điểm nằm về hai phía trục tung, thể hiện sự khác biệt về dấu của hoành độ giao điểm.
- Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm phía trên trục hoành khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi:
- Δ > 0
- S = x₁ + x₂ = -b/a = m/a > 0
- P = x₁x₂ = c/a = -n/a > 0
Bước 4: Sử dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ giao điểm.
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm, ta có thể sử dụng hệ thức Vi-ét để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm mà không cần giải trực tiếp phương trình.
Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
- x₁ + x₂ = -b/a
- x₁x₂ = c/a
Bước 5: Kết luận.
B. Các Ví Dụ Minh Họa Về Bài Toán Đường Thẳng Parabol
Ví dụ 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x² = 2x + m ⇔ x² – 2x – m = 0
Δ’ = (-1)² – (-m) = 1 + m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ’ > 0 ⇔ 1 + m > 0 ⇔ m > -1.
Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = -x²/2 và đường thẳng (d): y = x + m. Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: -x²/2 = x + m ⇔ x² + 2x + 2m = 0
Δ’ = 1² – 2m = 1 – 2m
Để (d) tiếp xúc với (P) thì Δ’ = 0 ⇔ 1 – 2m = 0 ⇔ m = 1/2.
Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm trở thành: x² + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)² = 0 ⇔ x = -1.
Vậy tọa độ tiếp điểm là (-1; -1/2).
Ví dụ 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x² = mx + 1 ⇔ x² – mx – 1 = 0
Δ = (-m)² – 4(-1) = m² + 4
Vì m² ≥ 0 với mọi m nên m² + 4 > 0 với mọi m. Vậy Δ > 0 với mọi m, suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng y = m cắt parabol y = x² tại hai điểm A, B sao cho AB = 4.
Hình ảnh minh họa đường thẳng y=m cắt parabol y=x² tại hai điểm A và B, thể hiện mối quan hệ giữa m và độ dài đoạn AB.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x² = m. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là m > 0.
Khi đó, x = √m hoặc x = -√m. Vậy A(-√m; m) và B(√m; m).
AB = √[(√m – (-√m))² + (m – m)²] = √(4m) = 2√m.
Theo đề bài, AB = 4 nên 2√m = 4 ⇔ √m = 2 ⇔ m = 4.
C. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho parabol (P): y = x²/4 và đường thẳng (d): y = x + m.
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 2: Cho parabol (P): y = 2x² và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 3: Cho parabol (P): y = x² + 1 và đường thẳng (d): y = 2x + m. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất, biết rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 4: Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng (d): y = kx + b. Biết rằng (d) cắt (P) tại hai điểm A(-1, -1) và B(2, -4). Tìm k và b. Viết phương trình đường thẳng (d’). Biết (d’) // (d) và (d’) tiếp xúc với (P).
Bài 5: Cho parabol (P): y = x²/2 và đường thẳng (d): y = mx + n. Xác định m và n, biết (d) đi qua điểm A(1; 1) và tiếp xúc với (P).
Hình ảnh minh họa đường thẳng tiếp xúc với parabol, thể hiện mối quan hệ đặc biệt giữa hệ số góc của đường thẳng và hệ số của parabol.
Kết Luận
Bài toán về đường thẳng và parabol là một phần quan trọng trong chương trình toán lớp 9. Việc nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự trong các kỳ thi. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và hữu ích về chủ đề này. Chúc các bạn học tốt!
