Để chinh phục các bài toán về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số trong chương trình Toán lớp 12, việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức tổng quát, ví dụ minh họa chi tiết và bài tập tự luyện để bạn tự tin hơn khi đối mặt với dạng toán này.
Định Nghĩa và Công Thức Cần Nhớ
Định nghĩa:
- Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng K: Với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
- Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng K: Với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu:
- Nếu f'(x) > 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).
- Nếu f'(x) < 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
- Nếu f'(x) = 0, ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b).
Alt text: Đồ thị hàm số minh họa: (a) đồng biến (f'(x) > 0), (b) nghịch biến (f'(x) < 0), thể hiện mối quan hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu.
Quy tắc xét tính đơn điệu:
Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên K.
- Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
- Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Phương pháp giải chung:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
- Lập bảng biến thiên (hoặc bảng xét dấu đạo hàm) của hàm số.
- Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x³ – 3x² + 2.
Giải:
- Tập xác định: D = ℝ.
- y’ = 3x² – 6x
- y’ = 0 <=> 3x² – 6x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.
- Bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | – | 0 |
| y | Tăng | 2 | Giảm | -2 |
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của hàm số y = (x-2)/(x+1).
Giải:
- Tập xác định: D = ℝ {-1}.
- y’ = 3/(x+1)²
- y’ > 0 với mọi x ≠ -1.
- Bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | +∞ |
|---|---|---|---|
| y’ | + | + | |
| y | Tăng |
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).
Alt text: Bảng biến thiên của hàm số y=(2x-1)/(x+2), thể hiện khoảng đồng biến và nghịch biến dựa trên dấu của đạo hàm.
Bài Tập Tự Luyện Để Nắm Chắc Kiến Thức
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = -x² + 2x + 5.
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = (1+x)/(2-x).
Bài 3: Tìm m để hàm số y = x³ – mx² + (m+3)x – 4 đồng biến trên ℝ.
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = cos x + x nghịch biến trên khoảng (0; π).
Lời khuyên: Hãy tự giải các bài tập này một cách cẩn thận, đối chiếu với đáp án (nếu có) và tìm hiểu kỹ những chỗ mình còn sai sót. Luyện tập thường xuyên là chìa khóa để bạn thành thạo dạng toán đồng Biến Nghịch Biến Lớp 12. Chúc bạn học tốt!