Bài toán tổ hợp xác suất luôn là một thử thách thú vị đối với học sinh giỏi. Đặc biệt, các bài toán liên quan đến việc chọn người từ một nhóm lớn với các điều kiện ràng buộc về số lượng ở từng nhóm nhỏ hơn lại càng đòi hỏi tư duy logic và kỹ năng tính toán chính xác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết cách giải một bài toán điển hình: “Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn?”.
Phân tích bài toán:
- Tổng số học sinh: 18
- Cơ cấu: 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10
- Yêu cầu: Chọn 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù. Thay vì tính trực tiếp số cách chọn thỏa mãn yêu cầu, ta sẽ tính tổng số cách chọn 8 học sinh bất kỳ, sau đó trừ đi các trường hợp không thỏa mãn (tức là có ít nhất một khối không có học sinh nào được chọn).
Bước 1: Tính tổng số cách chọn 8 học sinh bất kỳ
Số cách chọn 8 học sinh từ 18 học sinh là tổ hợp chập 8 của 18, ký hiệu là C(18, 8).
Công thức tổ hợp: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Vậy, C(18, 8) = 18! / (8! * 10!) = 43758
Bước 2: Tính số cách chọn không thỏa mãn yêu cầu
Các trường hợp không thỏa mãn là:
- Chọn 8 học sinh chỉ từ khối 12 và khối 11 (không có học sinh khối 10)
- Chọn 8 học sinh chỉ từ khối 12 và khối 10 (không có học sinh khối 11)
- Chọn 8 học sinh chỉ từ khối 11 và khối 10 (không có học sinh khối 12)
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng số học sinh mỗi khối lần lượt là 7, 6, và 5. Điều này có nghĩa chúng ta không thể chọn 8 học sinh chỉ từ một khối duy nhất.
Trường hợp 1: Chọn 8 học sinh chỉ từ khối 12 và khối 11
Số cách chọn 8 học sinh từ 7 học sinh khối 12 và 6 học sinh khối 11 (tổng cộng 13 học sinh) là C(13, 8) = 13! / (8! * 5!) = 1287
Trường hợp 2: Chọn 8 học sinh chỉ từ khối 12 và khối 10
Số cách chọn 8 học sinh từ 7 học sinh khối 12 và 5 học sinh khối 10 (tổng cộng 12 học sinh) là C(12, 8) = 12! / (8! * 4!) = 495
Trường hợp 3: Chọn 8 học sinh chỉ từ khối 11 và khối 10
Số cách chọn 8 học sinh từ 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 (tổng cộng 11 học sinh) là C(11, 8) = 11! / (8! * 3!) = 165
Tổng số cách chọn không thỏa mãn là: 1287 + 495 + 165 = 1947
Bước 3: Tính số cách chọn thỏa mãn yêu cầu
Số cách chọn 8 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là:
Tổng số cách chọn – Số cách chọn không thỏa mãn = 43758 – 1947 = 41811
Vậy, có 41811 cách cử 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.
Kết luận:
Bài toán này là một ví dụ điển hình về ứng dụng của tổ hợp và phương pháp phần bù. Việc phân tích kỹ bài toán, xác định các trường hợp không thỏa mãn, và áp dụng công thức tổ hợp một cách chính xác là chìa khóa để giải quyết bài toán này. Các bài toán tổ hợp xác suất không chỉ rèn luyện tư duy logic mà còn giúp học sinh làm quen với các kỹ năng giải quyết vấn đề phức tạp.