Việc nhận diện đồ thị hàm số là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan, sâu sắc về các dạng đồ thị hàm số thường gặp và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
1. Nhận dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax³ + bx² + cx + d
Đồ thị hàm số bậc ba có nhiều hình dạng khác nhau, phụ thuộc vào dấu của hệ số a và số lượng nghiệm của phương trình đạo hàm y' = 0.
| a > 0 | a < 0 | |
|---|---|---|
| y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt (Δy > 0) | ||
| y’ = 0 có nghiệm kép (Δy = 0) | ||
| y’ = 0 vô nghiệm (Δy < 0) |
Bảng tóm tắt các yếu tố ảnh hưởng đến đồ thị hàm số bậc 3:
| Hệ số | Đặc điểm đồ thị | Điều kiện |
|---|---|---|
| a | Đồ thị hướng lên (nhánh phải đi lên) | a > 0 |
| a | Đồ thị hướng xuống (nhánh phải đi xuống) | a < 0 |
| b | Điểm uốn “lệch phải” so với Oy hoặc 2 điểm cực trị lệch phải so với Oy | ab < 0 |
| b | Điểm uốn “lệch trái” so với Oy hoặc hai điểm cực trị “lệch trái” so với Oy | ab > 0 |
| b | Điểm uốn thuộc Oy hoặc hai điểm cực trị cách đều trục Oy | b = 0 |
| c | Không có cực trị | c = 0 hoặc ac > 0 |
| c | Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung Oy | ac < 0 |
| c | Có 1 điểm cực trị nằm trên Oy | c = 0 |
| d | Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O | d > 0 |
| d | Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O | d < 0 |
| d | Giao điểm với trục tung trùng điểm O | d = 0 |
2. Nhận dạng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương: y = ax⁴ + bx² + c
Hàm số bậc 4 trùng phương có tính đối xứng qua trục Oy. Hình dạng đồ thị phụ thuộc vào dấu của a và tương quan giữa a và b.
Đạo hàm: y’ = 4ax³ + 2bx
Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào dấu của ab:
- ab > 0: 1 cực trị
- ab < 0: 3 cực trị
Bảng tóm tắt các yếu tố ảnh hưởng đến đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương:
| Hệ số | Đặc điểm đồ thị | Điều kiện |
|---|---|---|
| a | Bề lõm hướng lên | a > 0 |
| a | Bề lõm hướng xuống | a < 0 |
| b | 3 điểm cực trị | ab < 0 |
| b | 1 điểm cực trị | ab ≥ 0 |
| c | Giao Ox trên điểm O | c > 0 |
| c | Giao Ox dưới điểm O | c < 0 |
| c | Giao Ox trùng điểm O | c = 0 |
3. Nhận dạng đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ: y = (ax + b)/(cx + d)
Đồ thị hàm số này có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
-
Tập xác định: D = R{-d/c}
-
Đạo hàm: y’ = (ad – bc)/(cx + d)²
-
Tiệm cận đứng: x = -d/c
-
Tiệm cận ngang: y = a/c
-
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Các tiêu chí nhận dạng:
- Dựa vào tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Dựa vào giao điểm với trục Ox, Oy.
- Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến (dấu của đạo hàm).
Bảng tóm tắt:
| Vị trí tương đối | Điều kiện |
|---|---|
| Giao Ox nằm phía “phải” điểm O | ab < 0 |
| Giao Ox nằm phía “trái” điểm O | ab > 0 |
| Không cắt Ox | a = 0 |
| Tiệm cận ngang nằm “phía trên” Ox | ac > 0 |
| Tiệm cận ngang nằm “phía dưới” Ox | ac < 0 |
| Tiệm cận ngang trùng Ox | a = 0 |
| Giao Oy nằm trên điểm O | bd > 0 |
| Giao Oy nằm dưới điểm O | bd < 0 |
| Giao Oy trùng gốc tọa độ O | b = 0 |
| Tiệm cận đứng nằm “bên phải” Oy | cd < 0 |
| Tiệm cận đứng nằm “bên trái” Oy | cd > 0 |
| Tiệm cận đứng trùng Oy | d = 0 |
4. Lưu ý quan trọng:
- Giao điểm với trục Ox: Thay y = 0 và biện luận.
- Giao điểm với trục Oy: Thay x = 0 và biện luận.
Ví dụ minh họa: (Các ví dụ minh họa từ bài gốc)
Lời kết:
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để chinh phục dạng bài tập nhận diện đồ thị hàm số. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán liên quan. Chúc các bạn thành công!
