1. Định Nghĩa và Phương Pháp Tính Độ Dài Vectơ
Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học và đại số tuyến tính.
-
Ký hiệu: Độ dài của vectơ $overrightarrow{a}$ được ký hiệu là $|overrightarrow{a}|$.
-
Cách tính: Để tính độ Dài Của Vectơ, ta cần xác định tọa độ của điểm đầu và điểm cuối, sau đó sử dụng công thức khoảng cách.
-
Trường hợp đặc biệt:
- Vectơ $overrightarrow{0}$ có độ dài bằng 0: $|overrightarrow{0}| = 0$.
- Với mọi vectơ $overrightarrow{a}$, ta luôn có $|overrightarrow{a}| geq 0$.
- $|overrightarrow{a}| = |overrightarrow{-a}|$ (vectơ đối có cùng độ dài).
2. Công Thức Tính Độ Dài Vectơ trong Hệ Tọa Độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $overrightarrow{a} = (x; y)$. Khi đó, độ dài của vectơ $overrightarrow{a}$ được tính theo công thức:
$|overrightarrow{a}| = sqrt{x^2 + y^2}$
Công thức này là hệ quả trực tiếp của định lý Pytago, áp dụng cho tam giác vuông tạo bởi các thành phần tọa độ của vectơ.
3. Khoảng Cách Giữa Hai Điểm trong Hệ Tọa Độ
Khoảng cách giữa hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) trong mặt phẳng tọa độ Oxy chính là độ dài của vectơ $overrightarrow{MN}$. Do đó, ta có công thức:
$MN = |overrightarrow{MN}| = sqrt{(x_N – x_M)^2 + (y_N – y_M)^2}$
Đây là một công thức quan trọng, được sử dụng rộng rãi trong các bài toán hình học phẳng.
4. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho vectơ $overrightarrow{u} = (4; 1)$ và $overrightarrow{v} = (1; 4)$. Tính độ dài vectơ $overrightarrow{u} – overrightarrow{v}$.
Giải:
$overrightarrow{u} – overrightarrow{v} = (4-1; 1-4) = (3; -3)$
$|overrightarrow{u} – overrightarrow{v}| = sqrt{3^2 + (-3)^2} = sqrt{18} = 3sqrt{2}$
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm M(1; -2) và N(-3; 4).
Giải:
$MN = sqrt{(-3 – 1)^2 + (4 – (-2))^2} = sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = sqrt{16 + 36} = sqrt{52} = 2sqrt{13}$
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Tính chu vi của tam giác ABC.
Giải:
$AB = sqrt{(3-1)^2 + (2-4)^2} = sqrt{2^2 + (-2)^2} = sqrt{8} = 2sqrt{2}$
$BC = sqrt{(5-3)^2 + (4-2)^2} = sqrt{2^2 + 2^2} = sqrt{8} = 2sqrt{2}$
$CA = sqrt{(1-5)^2 + (4-4)^2} = sqrt{(-4)^2 + 0^2} = sqrt{16} = 4$
Chu vi P = AB + BC + CA = $2sqrt{2} + 2sqrt{2} + 4 = 4sqrt{2} + 4$
5. Bài Tập Luyện Tập
- Cho A(2; 5) và B(-1; 1). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
- Cho $overrightarrow{a} = (3; -4)$. Tính $|overrightarrow{a}|$.
- Cho $overrightarrow{u} = (1; 2)$ và $overrightarrow{v} = (-2; 3)$. Tính $|overrightarrow{u} + overrightarrow{v}|$ và $|overrightarrow{u} – overrightarrow{v}|$.
- Cho tam giác MNP với M(0; 0), N(4; 0), P(2; 3). Tính chu vi và diện tích tam giác MNP.
- Tìm điểm C trên trục Ox sao cho C cách đều A(1; 2) và B(3; -1).
Nắm vững các công thức và ví dụ trên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm một cách dễ dàng. Chúc bạn học tốt!
