Định Nghĩa và Tính Chất Đoạn Thẳng Tỉ Lệ
Trong hình học, việc hiểu về đoạn thẳng tỉ lệ là nền tảng để tiếp cận định lý Thales một cách dễ dàng.
Tỉ số của hai đoạn thẳng chính là tỉ lệ độ dài của chúng khi đã quy về cùng một đơn vị đo.
Ví dụ: Tính tỉ số của các cặp đoạn thẳng sau:
a) AB = 3 cm và CD = 6 cm.
b) MN = 20 cm và PQ = 60 cm.
Giải:
a) Tỉ số: AB/CD = 3/6 = 1/2.
b) Tỉ số: MN/PQ = 20/60 = 1/3.
Hai đoạn thẳng AB và CD được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ khi và chỉ khi chúng thỏa mãn tỉ lệ thức:
AB/CD = A’B’/C’D’ hoặc AB/A’B’ = CD/C’D’.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, có AB = 5 cm, AC = 8 cm. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Hãy tính tỉ số AD/AB và AE/AC.
Hình ảnh minh họa tam giác ABC với D và E là trung điểm của AB và AC, thể hiện rõ các đoạn thẳng tỉ lệ.
Giải:
Vì D là trung điểm của AB nên AD = DB = 1/2 AB = 2.5 cm
Vì E là trung điểm của AC nên AE = EC = 1/2 AC = 4 cm
AD/AB = 2.5/5 = 1/2
AE/AC = 4/8 = 1/2
Vậy, AD/AB = AE/AC = 1/2.
Định Lý Thales Thuận và Ứng Dụng
2.1. Phát biểu định lý Thales
Định lý Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại, thì nó tạo ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Hình ảnh minh họa định lý Thales thuận trong tam giác, đường thẳng song song với một cạnh tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ trên hai cạnh còn lại.
Cho tam giác ABC, đường thẳng DE song song với BC (D thuộc AB, E thuộc AC). Khi đó:
AD/DB = AE/EC, AD/AB = AE/AC, DB/AB = EC/AC
Ví dụ: Cho tam giác ABC, biết DE // BC, AD = 4 cm, DB = 12 cm, AE = 3 cm. Tính độ dài EC.
Hình ảnh minh họa tam giác ABC có đường thẳng DE song song với BC, cần tính độ dài EC dựa vào định lý Thales.
Giải:
Áp dụng định lý Thales, ta có:
AD/DB = AE/EC
4/12 = 3/EC
=> EC = (3 * 12) / 4 = 9 cm
Định Lý Thales Đảo và Bài Toán Chứng Minh Song Song
2.2. Phát biểu định lý Thales đảo
Định lý Thales đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và tạo ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Hình ảnh minh họa định lý Thales đảo, chứng minh đường thẳng song song dựa trên tỉ lệ các đoạn thẳng.
Cho tam giác ABC, đường thẳng DE cắt AB, AC tại D và E sao cho AD/DB = AE/EC. Khi đó: DE // BC.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2 cm, DB = 6 cm. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2.5 cm, EC = 7.5 cm. Chứng minh rằng DE // BC.
Hình ảnh minh họa tam giác ABC, cần chứng minh DE song song BC bằng định lý Thales đảo.
Giải:
Ta có:
AD/DB = 2/6 = 1/3
AE/EC = 2.5/7.5 = 1/3
Vì AD/DB = AE/EC = 1/3 nên theo định lý Thales đảo, ta có DE // BC.
Bài Tập Vận Dụng Định Lý Thales
Bài 1: Cho hình vẽ, biết MN // BC. Tính độ dài x.
Hình ảnh bài tập tam giác có đường thẳng song song, yêu cầu tính độ dài cạnh.
Giải:
Áp dụng định lý Thales:
AM/MB = AN/NC
3/6 = 2/x
x = (2 * 6) / 3 = 4
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Trên AB lấy M sao cho AM = 3 cm. Từ M kẻ MN // BC (N thuộc AC). Tính độ dài AN.
Hình ảnh tam giác vuông có đường thẳng song song, yêu cầu tính độ dài một đoạn.
Giải:
Áp dụng định lý Thales:
AM/AB = AN/AC
3/8 = AN/6
AN = (3 * 6) / 8 = 2.25 cm
Bài 3: Xác định các cặp đường thẳng song song trong hình vẽ sau:
Hình ảnh bài tập yêu cầu xác định các cặp đường thẳng song song.
Giải:
Tính các tỉ số và so sánh để xác định các cặp đường thẳng song song dựa trên định lý Thales đảo.
Bài Tập Nâng Cao và Mở Rộng
Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 3BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho AO/OD = 4/3. Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tính tỉ số AI/IB.
Hình ảnh bài tập phức tạp hơn về tỉ lệ đoạn thẳng và ứng dụng định lý Thales.
Hình ảnh minh họa cách vẽ thêm đường phụ để giải bài toán định lý Thales phức tạp.
Giải: (Hướng dẫn: Kẻ thêm đường phụ song song để tạo ra các tam giác đồng dạng và áp dụng định lý Thales).
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập khác nhau sẽ giúp bạn hiểu sâu sắc và vận dụng thành thạo định lý Thales trong giải toán hình học.
