Định Lý Đường Phân Giác Trong Tam Giác: Ứng Dụng và Bài Tập

Đường phân giác là một khái niệm quan trọng trong hình học tam giác. Định lý đường phân giác không chỉ là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ các đoạn thẳng, mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định Lý đường Phân Giác trong tam giác, cách chứng minh, các dạng bài tập thường gặp và ứng dụng của nó.

Định Lý Đường Phân Giác: Khái Niệm và Phát Biểu

Định lý đường phân giác phát biểu rằng: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

Nếu AD là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC, với D nằm trên cạnh BC, thì ta có tỉ lệ thức sau:

DB/DC = AB/AC

Trong đó:

DB là đoạn thẳng từ đỉnh B đến điểm D.
DC là đoạn thẳng từ đỉnh D đến đỉnh C.
AB là độ dài cạnh AB của tam giác.
AC là độ dài cạnh AC của tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 6cm. Nếu AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC), hãy tính độ dài DB và DC.

Áp dụng định lý đường phân giác, ta có: DB/DC = AB/AC = 5/7.
Mà DB + DC = BC = 6cm.

Giải hệ phương trình:
DB/DC = 5/7
DB + DC = 6

Ta được: DB = 2.5cm và DC = 3.5cm.

Chứng Minh Định Lý Đường Phân Giác

Để chứng minh định lý đường phân giác, ta sử dụng phương pháp hình học và định lý Thales.

Chứng minh:

Vẽ thêm đường phụ: Từ B, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E.
Xác định các góc bằng nhau: Vì AD là phân giác của góc BAC nên ∠A1 = ∠A2.
- Do EB // AD nên ∠A1 = ∠B1 (hai góc so le trong).
- Do EB // AD nên ∠A2 = ∠E (hai góc đồng vị).
Chứng minh tam giác cân: Từ các đẳng thức trên, suy ra ∠B1 = ∠E. Vậy tam giác AEB cân tại A, do đó AE = AB.
Áp dụng định lý Thales: Trong tam giác CEB, áp dụng định lý Thales ta có: DB/DC = AE/AC.
Kết luận: Vì AE = AB nên DB/DC = AB/AC (điều phải chứng minh).

Ứng Dụng Của Định Lý Đường Phân Giác

Định lý đường phân giác có nhiều ứng dụng trong giải toán và thực tế:

Tính độ dài đoạn thẳng: Như ví dụ trên, định lý giúp tính độ dài các đoạn thẳng bị chia bởi đường phân giác.
Chứng minh các bài toán hình học: Định lý là công cụ để chứng minh các tính chất khác của tam giác, tứ giác.
Xây dựng và thiết kế: Trong kiến trúc và kỹ thuật, định lý đường phân giác có thể được sử dụng để chia một đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước, giúp thiết kế các cấu trúc cân đối và hài hòa.

Bài Tập Vận Dụng Định Lý Đường Phân Giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 12cm, BC = 15cm. AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Tính DB và DC.

Hướng dẫn: Áp dụng định lý đường phân giác, ta có DB/DC = AB/AC = 8/12 = 2/3.
Mà DB + DC = BC = 15cm.
Giải hệ phương trình, ta được DB = 6cm và DC = 9cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm. AD là đường phân giác trong, AE là đường phân giác ngoài của góc A (D, E thuộc đường thẳng BC). Tính DB và EB.

Hướng dẫn: Áp dụng định lý đường phân giác trong và ngoài, ta có:
DB/DC = AB/AC và EB/EC = AB/AC.
Từ đó tính được DB và EB.

Bài 3: Cho hình vẽ, tính x/y. Tính x khi y = 5.

Lời giải:

a) Theo tính chất đường phân giác, ta có:

x/y = AB/AC = 3.5/7.5 = 7/15

Vậy, x/y = 7/15.

b) Khi y = 5, ta có:

x/5 = 7/15 => x = (7/15) * 5 = 7/3

Vậy, khi y = 5 thì x = 7/3.

Lưu Ý Khi Sử Dụng Định Lý Đường Phân Giác

Xác định đúng đường phân giác: Cần xác định chính xác đoạn thẳng nào là đường phân giác của góc nào trong tam giác.
Kiểm tra tính hợp lệ: Đảm bảo điểm D nằm trên cạnh BC (đối với đường phân giác trong) hoặc trên đường thẳng BC (đối với đường phân giác ngoài).
Áp dụng tỉ lệ thức chính xác: Sử dụng đúng tỉ lệ thức DB/DC = AB/AC.

Tổng Kết

Định lý đường phân giác là một kiến thức quan trọng và hữu ích trong chương trình hình học lớp 8. Việc nắm vững lý thuyết, cách chứng minh và ứng dụng của định lý này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đọc cái nhìn tổng quan và chi tiết về định lý đường phân giác trong tam giác.