1. Định Lí Ta-Lét Đảo
Định lí Ta-lét đảo là một công cụ mạnh mẽ để chứng minh hai đường thẳng song song.
Hình ảnh minh họa định lý Ta-lét đảo: Đường thẳng cắt hai cạnh tam giác tạo tỉ lệ thức, suy ra song song.
Nội dung: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Nói cách khác, nếu có tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng, ta có thể kết luận về sự song song.
Ví dụ minh họa định lý Ta-lét đảo: Tam giác ABC với DE cắt AB, AC sao cho AD/DB = AE/EC, suy ra DE // BC.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, nếu (dfrac{{AD}}{{DB}} = dfrac{{AE}}{{EC}}), thì ta có thể kết luận rằng (DE{rm{//}}BC).
2. Hệ Quả của Định Lí Ta-Lét
Hệ quả của định lí Ta-lét mở rộng phạm vi ứng dụng của định lí, cho phép tính toán và chứng minh nhiều bài toán hình học phức tạp hơn.
Hình ảnh minh họa hệ quả định lý Ta-lét: Đường thẳng song song cắt hai cạnh tam giác tạo tam giác mới đồng dạng.
Nội dung: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho. Điều này có nghĩa là tam giác mới tạo thành đồng dạng với tam giác ban đầu.
Minh họa hệ quả Ta-lét: Trong tam giác ABC, nếu DE // BC, thì AD/AB = AE/AC = DE/BC.
Trong tam giác ABC, nếu (DE//BC), thì (dfrac{{AD}}{{AB}}= dfrac{{AE}}{{AC}} = dfrac{{DE}}{{BC}})
Lưu ý: Hệ quả này vẫn đúng khi đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều này mở rộng khả năng áp dụng định lý trong nhiều trường hợp khác nhau.
Ví dụ hệ quả định lý Ta-lét mở rộng: Tam giác ABC với B’C’ // BC, suy ra AB’/AB = AC’/AC = B’C’/BC.
Với (BC{rm{//}}B’C’) ta có (dfrac{{AB’}}{{AB}} = dfrac{{AC’}}{{AC}} = dfrac{{B’C’}}{{BC}}.)
3. Các Dạng Toán Thường Gặp và Phương Pháp Giải
Dạng 1: Tính Độ Dài Đoạn Thẳng, Chu Vi, Diện Tích và Các Tỉ Số
Để giải quyết dạng toán này, chúng ta áp dụng trực tiếp định lí Ta-lét và hệ quả của nó. Việc xác định các cặp cạnh tương ứng và lập tỉ lệ thức chính xác là chìa khóa để giải bài toán.
Phương pháp:
- Sử dụng định lí Ta-lét và hệ quả.
- Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức: Nếu (dfrac{a}{b} = dfrac{c}{d}) thì (ad = bc), (dfrac{a}{c} = dfrac{b}{d}), (dfrac{{a + b}}{b} = dfrac{{c + d}}{d}), (dfrac{{a – b}}{b} = dfrac{{c – d}}{d}), (dfrac{a}{b} = dfrac{c}{d} = dfrac{{a + c}}{{b + d}} = dfrac{{a – c}}{{b – d}})
Dạng 2: Chứng Minh Hai Đường Thẳng Song Song, Chứng Minh Các Đẳng Thức Hình Học
Trong dạng toán này, định lí Ta-lét đảo đóng vai trò quan trọng. Bằng cách chứng minh tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng, ta có thể suy ra sự song song giữa hai đường thẳng.
Phương pháp:
- Sử dụng định lí Ta-lét và định lí Ta-lét đảo.
- Kết hợp với các kiến thức hình học khác để chứng minh đẳng thức.
Hình ảnh minh họa đường cao trong tam giác, có thể liên quan đến việc chứng minh các đẳng thức hình học khi áp dụng định lý Ta-lét.
4. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: (Chọn câu sai) Cho hình vẽ với $AB
Hình vẽ minh họa tam giác ABC với đường thẳng DE cắt hai cạnh AB, AC.
A. (dfrac{{AD}}{{AB}} = dfrac{{AE}}{{AC}} Rightarrow DE//BC).
B. (dfrac{{AD}}{{DB}} = dfrac{{AE}}{{EC}} Rightarrow DE//BC).
C. (dfrac{{AB}}{{DB}} = dfrac{{AC}}{{EC}} Rightarrow DE//BC).
D. (dfrac{{AD}}{{DE}} = dfrac{{AE}}{{ED}} Rightarrow DE//BC).
Lời giải: Đáp án D sai vì không tuân theo định lý Ta-lét đảo.
Bài 2: Cho hình vẽ, trong đó $DE{rm{//}}BC$, $AD = 12,,,DB = 18,,,CE = 30$. Tính độ dài $AC$.
Hình vẽ tam giác ABC với DE // BC, cho độ dài AD, DB, CE, yêu cầu tính AC.
Lời giải: Áp dụng định lý Ta-lét: (dfrac{{AD}}{{BD}} = dfrac{{AE}}{{EC}} Leftrightarrow dfrac{{12}}{{18}} = dfrac{{AE}}{{30}}) suy ra (EA = 20,cm). Vậy (AC = AE + EC = 50,cm). Chọn đáp án C.
Bài 3: Tính các độ dài $x, y$ trong hình bên:
Hình vẽ với các đoạn thẳng và yêu cầu tính x, y dựa trên định lý Ta-lét.
Lời giải: Áp dụng định lý Py-ta-go và định lý Ta-lét, ta tính được (x = 5sqrt 5 ) và (y = 10). Chọn đáp án D.
Bài 4: Cho hình vẽ sau. Có bao nhiêu cặp đường thẳng song song?
Hình vẽ với các đoạn thẳng và yêu cầu xác định số cặp đường thẳng song song.
Lời giải: Áp dụng định lý Ta-lét đảo, ta chứng minh được (MN // PQ), (EF // PQ) và (MN // EF). Vậy có 3 cặp đường thẳng song song. Chọn đáp án D.
Bài 5: Cho tứ giác (ABCD) có (O) là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua (A) và song song với (BC) cắt (BD) ở (E) . Đường thẳng qua (B) song song với (AD) cắt (AC) ở (F) . Chọn kết luận sai?
Hình vẽ tứ giác ABCD với các đường thẳng song song và giao điểm, yêu cầu xác định kết luận sai.
Lời giải: Dựa vào hệ quả định lí Thalès, ta xác định được đáp án B là sai.
