Parabol là một trong những đường cong quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ tập trung vào đỉnh Của Parabol, một điểm đặc biệt quyết định nhiều tính chất của đồ thị hàm số bậc hai. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá công thức xác định tọa độ đỉnh, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để nắm vững kiến thức này.
Định nghĩa và Phương trình Parabol
Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol thường được biểu diễn bởi phương trình bậc hai:
y = ax² + bx + c
trong đó a, b, và c là các hệ số, với a ≠ 0. Hệ số ‘a’ quyết định hướng của parabol: nếu a > 0, parabol hướng lên trên; nếu a < 0, parabol hướng xuống dưới.
Tọa độ Đỉnh của Parabol: Công thức và Ý nghĩa
Đỉnh của parabol là điểm mà tại đó parabol đổi hướng. Nếu parabol hướng lên trên, đỉnh là điểm thấp nhất; nếu parabol hướng xuống dưới, đỉnh là điểm cao nhất. Tọa độ đỉnh I(xI; yI) có thể được tính bằng công thức:
xI = -b / 2a
yI = -Δ / 4a
trong đó Δ = b² – 4ac là biệt thức của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0.
Tìm Giao Điểm của Parabol với Các Trục Tọa Độ
Ngoài việc xác định đỉnh của parabol, việc tìm giao điểm của parabol với các trục tọa độ cũng rất quan trọng để vẽ đồ thị và giải quyết các bài toán liên quan.
-
Giao điểm với trục tung (Ox): Thay x = 0 vào phương trình parabol, ta được y = c. Vậy giao điểm với trục tung là điểm (0; c).
-
Giao điểm với trục hoành (Oy): Giải phương trình ax² + bx + c = 0. Số nghiệm của phương trình này cho biết số giao điểm của parabol với trục hoành.
- Nếu Δ > 0: Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
- Nếu Δ = 0: Parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm.
- Nếu Δ < 0: Parabol không cắt trục hoành.
Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho parabol y = x² – 4x + 3. Tìm tọa độ đỉnh của parabol.
Giải:
Ta có a = 1, b = -4, c = 3.
xI = -(-4) / (2 1) = 2
Δ = (-4)² – 4 1 3 = 4
yI = -4 / (4 1) = -1
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là I(2; -1).
Ví dụ 2: Tìm giao điểm của parabol y = -2x² + 8x – 6 với trục hoành.
Giải:
Giải phương trình -2x² + 8x – 6 = 0.
Δ = 8² – 4 (-2) (-6) = 16 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = ( -8 + √16 ) / (2 -2) = 1
x2 = ( -8 – √16 ) / (2 -2) = 3
Vậy parabol cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0) và (3; 0).
Bài tập tự luyện
- Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = 3x² + 6x – 1.
- Xác định giao điểm của parabol y = -x² + 2x + 3 với trục tung và trục hoành.
- Cho parabol y = x² – mx + 4. Tìm giá trị của m để đỉnh của parabol nằm trên trục hoành.
Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến đỉnh của parabol và các tính chất của đồ thị hàm số bậc hai. Chúc các bạn học tốt!
