Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về tam giác vuông, bao gồm định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức về điều Kiện Tam Giác Vuông.
I. Lý thuyết về tam giác vuông
1. Định nghĩa
Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ. Góc này được gọi là góc vuông.
2. Các yếu tố của tam giác vuông
- Cạnh huyền: Cạnh đối diện với góc vuông (cạnh dài nhất).
- Cạnh góc vuông: Hai cạnh còn lại tạo thành góc vuông.
3. Tính chất quan trọng
- Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn (không phải góc vuông) là hai góc phụ nhau, tức là tổng của chúng bằng 90 độ.
- Định lý Pytago: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ: Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: AB² + AC² = BC². Góc B + Góc C = 90°.
4. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
- Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có một góc vuông thì tam giác đó là tam giác vuông.
- Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc phụ nhau thì tam giác đó là tam giác vuông.
- Dấu hiệu 3: (Định lý Pytago đảo): Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
II. Các loại tam giác đặc biệt liên quan
1. Tam giác vuông cân
- Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông, vừa cân. Nói cách khác, nó có một góc vuông và hai cạnh góc vuông bằng nhau.
- Tính chất: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45 độ.
2. Mối liên hệ với các loại tam giác khác
- Tam giác cân: Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau. Tam giác vuông cân là một trường hợp đặc biệt của tam giác cân.
- Tam giác đều: Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau (60 độ). Tam giác đều không phải là tam giác vuông.
III. Ứng dụng và bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết góc B = 30 độ. Tính góc C.
- Giải: Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc A = 90 độ. Ta có: góc A + góc B + góc C = 180 độ. Suy ra: 90 độ + 30 độ + góc C = 180 độ. Vậy góc C = 60 độ.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
- Giải: Ta có: AB² = 3² = 9, AC² = 4² = 16, BC² = 5² = 25. Nhận thấy: AB² + AC² = 9 + 16 = 25 = BC². Vậy theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AB = 5cm. Tính cạnh BC.
- Giải: Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = 5cm. Áp dụng định lý Pytago, ta có: BC² = AB² + AC² = 5² + 5² = 50. Vậy BC = √50 = 5√2 cm.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D; trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE cân.
Giải:
-
Vì tam giác ABC cân tại A nên ⇒AB=ACABC^=ACB^ (tính chất)
-
Vì ABD^;ABC^ là hai góc kề bù ⇒ABD^+ABC^=180°
⇒ABD^=180°−ABC^ (1) -
Vì ACE^;ACB^ là hai góc kề bù ⇒ACE^+ACB^=180°
⇒ACE^=180°−ACB^ (2) -
Mà ABC^=ACB^ (chứng minh trên) (3)
-
Từ (1); (2); (3) ⇒ABD^=ACE^
-
Xét tam giác ABD và tam giác ACE có:
- ABD^=ACE^ (chứng minh trên)
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
- BD = CE (giả thuyết)
-
Do đó ΔABD=ΔACE (c – g – c)
- ⇒AD=AE (hai cạnh tương ứng)
-
Xét tam giác ADE có:
- AD = AE (chứng minh trên)
- ⇒ Tam giác ADE cân tại A.
IV. Bài tập tự luyện
- Cho tam giác MNP vuông tại M, biết MN = 6cm, MP = 8cm. Tính NP.
- Cho tam giác DEF có DE = 5cm, EF = 12cm, DF = 13cm. Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông.
- Cho tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = 4cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Nắm vững các kiến thức và bài tập về điều kiện tam giác vuông sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và chính xác. Chúc bạn học tốt!
