Tam thức bậc hai đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông và xuất hiện nhiều trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, giải bất phương trình, và các vấn đề thực tế. Một trong những câu hỏi thường gặp là “Khi nào thì tam thức bậc hai luôn dương?”. Bài viết này sẽ đi sâu vào vấn đề này, cung cấp kiến thức toàn diện và các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức.
1. Tam Thức Bậc Hai Là Gì?
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng:
f(x) = $ax^2 + bx + c$
Trong đó:
- x là biến số.
- a, b, c là các hệ số, với a ≠ 0 (a khác 0).
- Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$.
Hình ảnh minh họa dạng tổng quát của tam thức bậc hai, nhấn mạnh vai trò của các hệ số a, b, và c trong việc xác định hình dạng đồ thị.
2. Điều Kiện Để Tam Thức Bậc 2 Luôn Dương
Tam thức bậc hai f(x) = $ax^2 + bx + c$ (với a ≠ 0) được gọi là luôn dương (tức là f(x) > 0 với mọi x thuộc tập số thực R) khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Hệ số a > 0: Điều này đảm bảo rằng đồ thị của hàm số (parabol) có bề lõm hướng lên trên.
- Δ < 0: (Delta bé hơn 0) với Δ = $b^2 – 4ac$. Điều này đảm bảo rằng phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ vô nghiệm, tức là parabol không cắt trục hoành.
Giải thích:
- Khi a > 0, parabol mở lên phía trên.
- Khi Δ < 0, parabol không cắt trục hoành.
Kết hợp hai điều kiện trên, ta có parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, đồng nghĩa với việc f(x) > 0 với mọi giá trị của x.
3. Dấu Của Tam Thức Bậc Hai: Tổng Quan
Để hiểu rõ hơn về điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, ta cần nắm vững định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Định lý:
Cho tam thức bậc hai f(x) = $ax^2 + bx + c$ (a ≠ 0) và Δ = $b^2 – 4ac$.
-
Nếu Δ < 0: f(x) luôn cùng dấu với a với mọi x thuộc R.
-
Nếu Δ = 0: f(x) có nghiệm kép x = -b/2a. Khi đó, f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ -b/2a.
-
Nếu Δ > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ ($x_1 < x_2$). Khi đó:
- f(x) cùng dấu với a khi x < $x_1$ hoặc x > $x_2$ (khoảng ngoài hai nghiệm).
- f(x) trái dấu với a khi $x_1$ < x < $x_2$ (khoảng giữa hai nghiệm).
Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số bậc hai với các trường hợp Delta âm, dương, và bằng không, thể hiện sự thay đổi dấu của tam thức.
4. Ứng Dụng Điều Kiện Tam Thức Bậc Hai Luôn Dương
Điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương có nhiều ứng dụng trong giải toán và các bài toán thực tế. Dưới đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm m để tam thức bậc hai $f(x) = x^2 + 2(m-1)x + m + 3$ luôn dương.
Giải:
Để f(x) luôn dương, ta cần:
- a = 1 > 0 (đã thỏa mãn)
- Δ < 0
Δ = $[2(m-1)]^2 – 4(m+3) = 4(m^2 – 2m + 1) – 4m – 12 = 4m^2 – 12m – 8$
Δ < 0 <=> $4m^2 – 12m – 8 < 0$ <=> $m^2 – 3m – 2 < 0$
Giải bất phương trình bậc hai này, ta tìm được nghiệm:
$frac{3-sqrt{17}}{2} < m < frac{3+sqrt{17}}{2}$
Vậy, với $frac{3-sqrt{17}}{2} < m < frac{3+sqrt{17}}{2}$ thì tam thức bậc hai $f(x) = x^2 + 2(m-1)x + m + 3$ luôn dương.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình $(m^2 – 1)x^2 + 2(m-1)x + 2 > 0$ nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
Giải:
Để biểu thức trên luôn dương với mọi x, ta xét hai trường hợp:
-
Trường hợp 1: $m^2 – 1 = 0$ <=> m = 1 hoặc m = -1
- Với m = 1, biểu thức trở thành 2 > 0 (luôn đúng).
- Với m = -1, biểu thức trở thành -4x + 2 > 0 (không đúng với mọi x).
-
Trường hợp 2: $m^2 – 1 > 0$ và Δ’ < 0 (Δ’ là delta rút gọn)
- $m^2 – 1 > 0$ <=> m < -1 hoặc m > 1
- Δ’ = $(m-1)^2 – 2(m^2 – 1) = m^2 – 2m + 1 – 2m^2 + 2 = -m^2 – 2m + 3$
- Δ’ < 0 <=> $-m^2 – 2m + 3 < 0$ <=> $m^2 + 2m – 3 > 0$ <=> (m < -3) hoặc (m > 1)
Kết hợp các điều kiện trên, ta có m > 1 hoặc m < -3.
Kết luận: m = 1 hoặc m > 1 hoặc m < -3. Vậy m ∈ (-∞; -3) ∪ {1} ∪ (1; +∞).
Hình ảnh minh họa cách áp dụng điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương trong việc giải phương trình và bất phương trình, đặc biệt là các bài toán chứa tham số.
5. Các Dạng Bài Tập Về Dấu Của Tam Thức Bậc Hai
Việc nắm vững các dạng bài tập về dấu của tam thức bậc hai sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán phức tạp. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:
- Xét dấu của tam thức bậc hai: Dựa vào dấu của hệ số a và giá trị của Δ để xác định dấu của tam thức trên các khoảng khác nhau.
- Giải bất phương trình bậc hai: Sử dụng bảng xét dấu để tìm tập nghiệm của bất phương trình.
- Tìm điều kiện để tam thức bậc hai thỏa mãn một điều kiện nào đó (ví dụ: luôn dương, luôn âm, có nghiệm, vô nghiệm, …): Áp dụng các điều kiện về dấu của a và Δ.
- So sánh nghiệm của tam thức với một số cho trước: Sử dụng định lý Vi-et và các tính chất của nghiệm để giải bài toán.
- Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm: Sử dụng giá trị của hàm số tại một điểm để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
6. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = -3x^2 + 5x – 2$.
Bài 2: Giải bất phương trình $2x^2 – 7x + 3 > 0$.
Bài 3: Tìm m để bất phương trình $(m+1)x^2 – 2mx + m > 0$ nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
Bài 4: Cho phương trình $x^2 – 2(m-1)x + m^2 – 3m + 2 = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Lời khuyên:
- Luôn nhớ kiểm tra điều kiện a ≠ 0 khi xét tam thức bậc hai.
- Vẽ đồ thị phác thảo của parabol để hình dung rõ hơn về dấu của tam thức.
- Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để nắm vững các dạng toán.
Hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương và các ứng dụng của nó. Chúc bạn học tốt!
