Trong hình học, việc xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng là một kiến thức quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào điều Kiện để Hai đường Thẳng Vuông Góc, cung cấp lý thuyết chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức này.
A. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng
Xét hai đường thẳng:
- (d): y = ax + b
- (d’): y = a’x + b’
trong đó a và a’ khác 0.
1. Hai Đường Thẳng Trùng Nhau
Hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau khi và chỉ khi hệ số góc và tung độ gốc của chúng bằng nhau:
(d) ≡ (d’) ⇔
{
a = a'
b = b'
}2. Hai Đường Thẳng Song Song
Hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau, nhưng tung độ gốc khác nhau:
(d) // (d’) ⇔
{
a = a'
b ≠ b'
}3. Hai Đường Thẳng Cắt Nhau
Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng khác nhau:
(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’
4. Điều Kiện Để Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là tích của hai hệ số góc bằng -1:
(d) ⊥ (d’) ⇔ a.a’ = -1
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Xác định các cặp đường thẳng song song, vuông góc và cắt nhau trong các đường thẳng sau:
a) y = 2x + 1
b) y = -3x + 2 + √2
c) y = 2x – 2 + √7
d) y = 3 – √2 + 2x
e) y = (1/3)x + 5
f) y = -(1/2)x + 100
Giải:
- Song song: a, c, d (vì có cùng hệ số góc a = 2)
- Vuông góc: f vuông góc với a, c, d (vì 2 -1/2 = -1) và e vuông góc với b (vì -3 1/3 = -1)
- Cắt nhau: Các đường thẳng còn lại cắt nhau vì hệ số góc khác nhau. Ví dụ, a cắt b, e, f; b cắt c, d, e, f;…
Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x – 2. Tìm m để:
a) (d) song song với (d1): y = 2x + 3
b) (d) vuông góc với (d2): y = -3x – 2
c) (d) cắt (d3): y = -x + 3
Giải:
a) (d) // (d1) ⇔
{
m + 2 = 2
-2 ≠ 3
}⇔ m = 0
b) (d) ⊥ (d2) ⇔ (m + 2)(-3) = -1 ⇔ m = -5/3
c) (d) cắt (d3) ⇔ m + 2 ≠ -1 ⇔ m ≠ -3
C. Bài Tập Vận Dụng
Bài Tập Trắc Nghiệm
-
Đường thẳng y = 3x + 2 vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
A. y = 3x – 1
B. y = -3x + 2
C. y = (1/3)x + 4
D. y = (-1/3)x – 5 -
Cho hai đường thẳng y = (m – 1)x + 2 và y = (2 – m)x – 3. Hai đường thẳng này song song khi m bằng:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Bài Tập Tự Luận
- Cho đường thẳng (d): y = -x + 3. Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua điểm A(1; 2) và vuông góc với (d).
- Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 2 và y = (2m – 1)x + 3 vuông góc với nhau.
Nắm vững điều kiện để hai đường thẳng vuông góc và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kiến thức này nhé!
