Để giải quyết các bài toán liên quan đến căn bậc hai trong chương trình Toán lớp 9, việc nắm vững “điều Kiện để Căn Thức Có Nghĩa” là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn chi tiết về khái niệm này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để củng cố kiến thức.
Điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa
Một biểu thức chứa căn bậc hai, ví dụ √A, được gọi là có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm. Nói cách khác:
√A có nghĩa ⇔ A ≥ 0
Điều này có nghĩa là, giá trị của biểu thức A phải lớn hơn hoặc bằng 0. Nếu A nhỏ hơn 0, căn bậc hai của A không phải là một số thực.
Các trường hợp đặc biệt cần lưu ý
Ngoài điều kiện cơ bản trên, khi biểu thức chứa căn thức nằm ở mẫu số của một phân thức, ta cần kết hợp thêm điều kiện mẫu số khác 0.
Ví dụ, biểu thức √(A)/B có nghĩa khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:
- A ≥ 0 (để căn thức có nghĩa)
- B ≠ 0 (để phân thức có nghĩa)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để biểu thức √(5 – 2x) có nghĩa.
Lời giải:
Để √(5 – 2x) có nghĩa, ta cần:
5 – 2x ≥ 0
⇔ 5 ≥ 2x
⇔ x ≤ 5/2
Vậy, biểu thức có nghĩa khi x ≤ 5/2.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để biểu thức √(x+1)/(x-2) có nghĩa.
Lời giải:
Để √(x+1)/(x-2) có nghĩa, ta cần đồng thời có:
- x + 1 ≥ 0 (để căn thức có nghĩa)
- x – 2 > 0 (để phân thức có nghĩa và mẫu khác 0)
Giải hệ bất phương trình này, ta có:
- x ≥ -1
- x > 2
Kết hợp hai điều kiện, ta được x > 2. Vậy biểu thức có nghĩa khi x > 2.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) √(-7x)
b) √(3x2 + 1)
c) √(x2 – 8x – 9)
d) √(2x2 + 4x + 5)
Hướng dẫn giải:
a) Để √(-7x) có nghĩa, ta cần -7x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
b) Vì 3x2 ≥ 0 với mọi x, nên 3x2 + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x. Vậy biểu thức √(3x2 + 1) có nghĩa với mọi x.
c) Để √(x2 – 8x – 9) có nghĩa, ta cần x2 – 8x – 9 ≥ 0. Phân tích thành (x – 9)(x + 1) ≥ 0. Suy ra x ≤ -1 hoặc x ≥ 9.
d) Để √(2x2 + 4x + 5) có nghĩa, ta cần 2x2 + 4x + 5 ≥ 0. Biến đổi thành 2(x + 1)2 + 3 ≥ 0. Vì 2(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x, nên 2(x + 1)2 + 3 ≥ 3 > 0 với mọi x. Vậy biểu thức √(2x2 + 4x + 5) có nghĩa với mọi x.
Bài 2: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) √(-x – 1) + 1
b) √(x + 2)/(x – 1)
c) √(2x – 2) + 2√(2x – 3) + √(2x + 1)/(3 + 8/(2x – 3))
Bài 3: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) √(-2x2 – 5x + 6)
b) √(x + 1)/(x2 – 1)
c) 1/(1 + √x)
d) √(7 – x) – 1/(1 + √x)
Bài 4: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) √((x – 2)/(5 – x))
b) (-3x)/√(x2 – 1)
c) (3x – 2)/√(x2 – 2x + 4)
d) √(x2 + 2x + 4)/(2x – 3)
Bài 5: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) (x + 2)/√(x – 5) + (3x)/√(x + 5)
b) √(x + 2) – √5
c) (2x)/√(x2 – 9) + √(x + 3)
Lưu ý: Với các bài tập phức tạp, hãy nhớ kết hợp cả điều kiện của căn thức và điều kiện của mẫu số (nếu có).
Kết luận
Nắm vững điều kiện để căn thức có nghĩa là một kỹ năng quan trọng giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến căn bậc hai. Hãy luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau và nâng cao khả năng giải toán của mình. Chúc bạn học tốt!
