Trong hình học không gian lớp 11, khái niệm hai mặt phẳng vuông góc đóng vai trò quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, kèm theo các ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ và áp dụng hiệu quả kiến thức này.
Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Trước khi đi vào điều kiện hai mặt phẳng vuông góc, cần nắm vững khái niệm góc giữa hai mặt phẳng.
1. Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Cách xác định góc này giúp chúng ta đánh giá mức độ “nghiêng” giữa hai mặt phẳng.
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Nếu S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (β), thì S’ = S.cosφ, trong đó φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Công thức này liên hệ diện tích đa giác với diện tích hình chiếu của nó thông qua góc giữa hai mặt phẳng.
Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°. Ký hiệu: (α) ⊥ (β).
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:
Đây là phần quan trọng nhất, giúp xác định khi nào hai mặt phẳng vuông góc.
Định lí 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Đây là định lý then chốt để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia. Hệ quả này rất hữu ích trong việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi biết hai mặt phẳng vuông góc.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Ứng Dụng Trong Các Hình Khối
Các kiến thức về điều kiện hai mặt phẳng vuông góc được ứng dụng nhiều trong việc giải các bài toán liên quan đến hình lăng trụ, hình hộp và hình chóp.
1. Hình Lăng Trụ Đứng, Hình Hộp Chữ Nhật, Hình Lập Phương:
-
Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong hình lăng trụ đứng, các mặt bên luôn vuông góc với mặt phẳng đáy.
-
Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
-
Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
-
Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
-
Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật. Đây là một tính chất quan trọng cần ghi nhớ.
2. Hình Chóp Đều và Hình Chóp Cụt Đều:
-
Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
-
Hình chóp cụt đều: Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Nắm vững lý thuyết về điều kiện hai mặt phẳng vuông góc và các ứng dụng của nó trong các hình khối sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
