Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi đồ Thị Hàm Số là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong hình học. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức này.
A. Phương Pháp Giải Bài Toán Diện Tích Hình Phẳng
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b:
Diện tích S được tính bởi công thức:
S = ∫ab |f(x)| dx
Công thức này dựa trên việc tính tích phân xác định của giá trị tuyệt đối của hàm số f(x) từ a đến b. Việc sử dụng giá trị tuyệt đối đảm bảo rằng diện tích luôn là một giá trị dương, bất kể hàm số f(x) nằm trên hay dưới trục hoành.
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f1(x); y = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a; x = b:
Diện tích S được tính bởi công thức:
S = ∫ab |f1(x) – f2(x)| dx
Công thức này tính diện tích giữa hai đường cong bằng cách lấy tích phân xác định của giá trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số từ a đến b. Giá trị tuyệt đối đảm bảo diện tích luôn dương, bất kể đường cong nào nằm trên đường cong còn lại.
* Những điểm cần lưu ý:
-
Nếu trên đoạn [a;b], hàm số y = f(x) không đổi dấu thì:
S = |∫ab f(x) dx|
Công thức này cho phép tính diện tích một cách đơn giản hơn khi biết hàm số không đổi dấu trên đoạn tích phân. Tuy nhiên, vẫn cần sử dụng giá trị tuyệt đối để đảm bảo kết quả dương.
-
Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối. Điều này đòi hỏi phải xét dấu của biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối để phá dấu một cách chính xác.
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y); x = h(y) và hai đường thẳng y = c; y = d được xác định:
S = ∫cd |g(y) – h(y)| dy
Trong trường hợp này, tích phân được thực hiện theo biến y thay vì x. Điều này hữu ích khi các đường cong được cho bởi phương trình x theo y.
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ; y = g(x); x = a; x = b là:
S = ∫ab |f(x) – g(x)| dx
Phương pháp giải toán:
+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: f(x) = g(x) (1)
+) Nếu (1) vô nghiệm thì:
S = ∫ab |f(x) - g(x)| dx+) Nếu (1) có nghiệm α thuộc [a;b] thì:
S = ∫aα |f(x) - g(x)| dx + ∫αb |f(x) - g(x)| dxChú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f(x) – g(x) trên đoạn [a;b] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) là:
S = ∫αβ |f(x) – g(x)| dx
Trong đó α; β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) (a ≤ α ≤ β ≤ b).
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) tìm các giá trị α; β.
Bước 2. Tính S = ∫αβ |f(x) – g(x)| dx như trường hợp 1.
B. Ví Dụ Minh Họa Tính Diện Tích Hình Phẳng
Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:
Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S = ∫ab f(x) dx – ∫bc f(x) dx + ∫cd f(x) dx
Ví dụ 2. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 3 là:
A. 19. B. 18. C. 20. D. 21.
Lời giải
Ta có: S = ∫13 |x3| dx = ∫13 x3 dx = (x4/4)|13 = 81/4 – 1/4 = 20
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4 là:
Lời giải
S = ∫14 √x dx = (2/3 x3/2)|14 = 2/3 (8 – 1) = 14/3
(Các ví dụ khác tương tự)
C. Bài Tập Vận Dụng Diện Tích Hình Phẳng
(Các bài tập và lời giải chi tiết)
Câu 1: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = π/4 là:
Lời giải:
(Các câu hỏi khác tương tự)
Bài viết này cung cấp một cái nhìn toàn diện về diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12 và ứng dụng tích phân. Hy vọng rằng, với phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, bạn sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
