Tính Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Các đường là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong hình học giải tích. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa để bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan.
A. Phương Pháp Giải Tổng Quan
Để tính diện tích hình phẳng, ta sử dụng tích phân xác định. Có hai trường hợp chính:
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b:
Trong trường hợp này, diện tích S được tính bằng công thức:
S = ∫[a, b] |f(x)| dx
Giá trị tuyệt đối |f(x)| đảm bảo rằng diện tích luôn dương, bất kể hàm số f(x) nằm trên hay dưới trục hoành.
Alt text: Hình minh họa diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f(x) nằm phía trên trục Ox, hai đường thẳng x=a, x=b và trục Ox, biểu diễn công thức tích phân.
Alt text: Hình minh họa diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f(x) nằm phía dưới trục Ox, hai đường thẳng x=a, x=b và trục Ox, biểu diễn công thức tích phân với giá trị tuyệt đối.
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) và hai đường thẳng x = a, x = b:
Diện tích S được tính bằng công thức:
S = ∫[a, b] |f₁(x) – f₂(x)| dx
Giá trị tuyệt đối |f₁(x) – f₂(x)| đảm bảo rằng diện tích luôn dương, bất kể đồ thị nào nằm trên đồ thị nào.
Alt text: Minh họa diện tích hình phẳng giữa hai đường cong y=f1(x) và y=f2(x), với f1(x) luôn lớn hơn f2(x) trên đoạn [a, b], thể hiện phép tích phân hiệu hai hàm số.
Alt text: Hình ảnh minh họa diện tích hình phẳng nằm giữa hai đường cong y=f2(x) và y=f1(x), f2(x) lớn hơn f1(x) trong khoảng [a, b], dùng tích phân để tính.
Lưu ý quan trọng:
-
Nếu hàm số y = f(x) đổi dấu trên đoạn [a; b], ta cần chia đoạn này thành các khoảng nhỏ, nơi f(x) không đổi dấu, và tính tích phân trên từng khoảng rồi cộng lại.
-
Nắm vững kỹ năng tính tích phân của các hàm số cơ bản và hàm số chứa giá trị tuyệt đối.
-
Đối với hình phẳng giới hạn bởi x = g(y), x = h(y) và y = c, y = d, công thức là:
S = ∫[c, d] |g(y) – h(y)| dy
Alt text: Đồ thị biểu diễn diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm x=g(y), x=h(y) và các đường thẳng y=c, y=d; công thức tích phân theo biến y.
Các bước giải bài toán tính diện tích hình phẳng:
- Bước 1: Tìm giao điểm của các đường để xác định cận tích phân (a và b). Giải phương trình hoành độ giao điểm (nếu cần).
- Bước 2: Xác định hàm số nào nằm trên (hoặc bên phải) hàm số nào trên khoảng đang xét.
- Bước 3: Áp dụng công thức tích phân phù hợp để tính diện tích.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x² – 4x + 3 và trục hoành.
Giải:
-
Bước 1: Tìm giao điểm với trục hoành: x² – 4x + 3 = 0 => x = 1 hoặc x = 3. Vậy cận tích phân là a = 1 và b = 3.
-
Bước 2: Xác định dấu của hàm số trên (1;3). Chọn x = 2, y = 2² – 4*2 + 3 = -1 < 0. Vậy hàm số âm trên khoảng (1;3).
-
Bước 3: Tính diện tích:
S = ∫[1, 3] |x² – 4x + 3| dx = – ∫[1, 3] (x² – 4x + 3) dx
S = – [x³/3 – 2x² + 3x] |[1, 3] = – [(9 – 18 + 9) – (1/3 – 2 + 3)] = 4/3 (đvdt)
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³ và y = x.
Giải:
-
Bước 1: Tìm giao điểm: x³ = x => x³ – x = 0 => x(x² – 1) = 0 => x = -1, x = 0, x = 1.
-
Bước 2: Xét dấu (x³ – x) trên các khoảng (-1;0) và (0;1).
- Trên (-1;0), chọn x = -0.5: (-0.5)³ – (-0.5) = 0.375 > 0
- Trên (0;1), chọn x = 0.5: (0.5)³ – (0.5) = -0.375 < 0
-
Bước 3: Tính diện tích:
S = ∫[-1, 0] (x³ – x) dx + ∫[0, 1] (x – x³) dx
S = [x⁴/4 – x²/2] |[-1, 0] + [x²/2 – x⁴/4] |[0, 1]
S = [0 – (1/4 – 1/2)] + [(1/2 – 1/4) – 0] = 1/4 + 1/4 = 1/2 (đvdt)
Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ. Tính diện tích phần tô đậm.
Alt text: Đồ thị hàm số y=f(x) với các phần diện tích S1 và S2 cần tính bằng tích phân, minh họa ứng dụng tích phân để tính diện tích.
Giải:
Alt text: Biểu thức toán học tính diện tích hình phẳng S=S1+S2 bằng tổng giá trị tuyệt đối của các tích phân trên các khoảng tương ứng.
Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 3 là:
Alt text: Câu hỏi trắc nghiệm về diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=x^3, trục Ox và các đường thẳng x=1, x=3 kèm các đáp án A, B, C, D.
Giải:
S = ∫[1,3] |x³|dx = ∫[1,3] x³dx = [x⁴/4]|[1,3] = (81/4) – (1/4) = 20. Đáp án C.
Ví dụ 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π/2 là:
Alt text: Bài toán trắc nghiệm tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=sinx, trục Ox và hai đường thẳng x=0, x=π/2, kèm theo các lựa chọn đáp án.
Giải:
S = ∫[0, π/2] |sinx|dx = ∫[0, π/2] sinxdx = -cosx |[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 0 + 1 = 1. Đáp án A.
C. Bài Tập Vận Dụng Tự Giải
Dưới đây là một số bài tập vận dụng để bạn tự luyện tập:
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = 2x.
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = eˣ, trục hoành, x = 0 và x = 1.
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục hoành và x = 4.
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln(x), trục hoành và x = e.
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = cos(x), trục hoành, x = 0 và x = π.
Chúc bạn thành công trong việc chinh phục các bài toán về diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường!
