Trong chương trình Toán 9, delta (Δ) và delta phẩy (Δ’) là những công cụ không thể thiếu để giải phương trình bậc hai. Hiểu rõ và vận dụng thành thạo công thức tính delta sẽ giúp học sinh tự tin chinh phục các bài toán liên quan, đặc biệt trong kỳ thi vào lớp 10. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết về Delta Lớp 9, từ định nghĩa, công thức, ý nghĩa đến các dạng bài tập thường gặp.
1. Delta (Δ) và Delta Phẩy (Δ’) Là Gì?
Trong toán học, delta (Δ) là một ký hiệu Hy Lạp, thường được dùng để biểu thị sự thay đổi. Riêng trong phương trình bậc hai, delta (Δ) và delta phẩy (Δ’) là những biệt thức quan trọng, giúp xác định số nghiệm của phương trình.
2. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát:
ax² + bx + c = 0Trong đó:
a,b,clà các hệ số, vớia ≠ 0xlà ẩn số cần tìm.
3. Công Thức Tính Delta và Delta Phẩy
Để giải phương trình bậc hai, ta sử dụng công thức delta như sau:
- Delta (Δ): Δ = b² – 4ac
Dựa vào giá trị của Δ, ta có thể xác định số nghiệm của phương trình:
- Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau).
- Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
Ngoài ra, khi hệ số b là một số chẵn, ta có thể sử dụng công thức delta phẩy (Δ’) để tính toán đơn giản hơn:
- Delta phẩy (Δ’): Δ’ = (b/2)² – ac = b’² – ac (với b’ = b/2)
Tương tự như delta, giá trị của Δ’ cũng cho biết số nghiệm của phương trình:
- Δ’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Δ’ = 0: Phương trình có nghiệm kép.
- Δ’ < 0: Phương trình vô nghiệm.
Công thức nghiệm kép: x₁ = x₂ = -b/2a
4. Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai
Khi đã tính được delta (Δ) hoặc delta phẩy (Δ’), ta có thể tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng các công thức sau:
a. Với Delta (Δ):
-
Nếu Δ > 0:
- x₁ = (-b + √Δ) / 2a
- x₂ = (-b – √Δ) / 2a
-
Nếu Δ = 0:
- x₁ = x₂ = -b / 2a
b. Với Delta Phẩy (Δ’):
-
Nếu Δ’ > 0:
- x₁ = (-b’ + √Δ’) / a
- x₂ = (-b’ – √Δ’) / a
-
Nếu Δ’ = 0:
- x₁ = x₂ = -b’ / a
Công thức nghiệm: x₁ = (-b’ + √Δ’) / a; x₂ = (-b’ – √Δ’) / a
5. Tại Sao Cần Tính Delta?
Việc tính delta giúp ta xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một cách nhanh chóng. Thay vì phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp để tìm nghiệm, ta chỉ cần tính giá trị của delta và so sánh với 0 để biết phương trình có nghiệm hay không, và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm.
6. Tổng Hợp Nghiệm Phương Trình Bậc Hai
| Trường hợp nghiệm | Công thức nghiệm (Δ) | Công thức nghiệm thu gọn (Δ’) |
|---|---|---|
| Phương trình vô nghiệm | Δ < 0 | Δ’ < 0 |
| Phương trình có nghiệm kép | Δ = 0; x₁ = x₂ = -b / 2a | Δ’ = 0; x₁ = x₂ = -b’ / a |
| Phương trình có 2 nghiệm phân biệt | Δ > 0; x₁ = (-b + √Δ) / 2a; x₂ = (-b – √Δ) / 2a | Δ’ > 0; x₁ = (-b’ + √Δ’) / a; x₂ = (-b’ – √Δ’) / a |
7. Các Dạng Bài Tập Về Delta Lớp 9
7.1. Dạng 1: Giải Phương Trình Bậc Hai
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu học sinh áp dụng công thức delta để tìm nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình x² – 5x + 4 = 0
Giải:
Δ = (-5)² – 4 1 4 = 9 > 0
x₁ = (5 + √9) / 2 = 4
x₂ = (5 – √9) / 2 = 1
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 4 và x₂ = 1.
7.2. Dạng 2: Biện Luận Nghiệm Của Phương Trình
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh xác định số nghiệm của phương trình dựa vào giá trị của delta, thường đi kèm với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình x² – 2x + m = 0. Tìm m để phương trình:
- Có hai nghiệm phân biệt
- Có nghiệm kép
- Vô nghiệm
Giải:
Δ = (-2)² – 4 1 m = 4 – 4m
- Để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Δ > 0 <=> 4 – 4m > 0 <=> m < 1
- Để phương trình có nghiệm kép: Δ = 0 <=> 4 – 4m = 0 <=> m = 1
- Để phương trình vô nghiệm: Δ < 0 <=> 4 – 4m < 0 <=> m > 1
7.3. Dạng 3: Bài Toán Liên Quan Đến Nghiệm
Dạng bài tập này thường cho trước một điều kiện về nghiệm (ví dụ: tổng hoặc tích của hai nghiệm) và yêu cầu tìm tham số.
Ví dụ: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tìm m biết phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ – x₂ = 4.
Giải:
Theo định lý Vi-et:
- x₁ + x₂ = 6
- x₁ * x₂ = m
Kết hợp với x₁ – x₂ = 4, ta có hệ phương trình:
- x₁ + x₂ = 6
- x₁ – x₂ = 4
Giải hệ, ta được x₁ = 5 và x₂ = 1.
Vậy, m = x₁ x₂ = 5 1 = 5.
8. Luyện Tập
Để nắm vững kiến thức về delta lớp 9, học sinh cần luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau. Việc giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp học sinh hiểu sâu sắc về công thức và cách áp dụng delta trong giải toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp đầy đủ thông tin về delta lớp 9 và giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn thi. Chúc các em thành công!
