Phương trình bậc ba, một dạng toán quen thuộc, chứa đựng nhiều điều thú vị về nghiệm. Để hiểu rõ về số lượng và tính chất của nghiệm, một công cụ quan trọng không thể bỏ qua là Delta Của Phương Trình Bậc 3.
Phương trình bậc 3 có dạng tổng quát:
[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0]
Để xác định số nghiệm thực của phương trình bậc 3, ta sử dụng biệt thức delta (hay còn gọi là discriminant), ký hiệu là (Delta). Công thức tính delta cho phương trình bậc 3 là:
[Delta = 18abcd – 4b^3d + b^2c^2 – 4ac^3 – 27a^2d^2]
Giá trị của (Delta) sẽ cho ta biết về số lượng nghiệm thực của phương trình:
- (Delta > 0): Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
- (Delta = 0): Phương trình có ít nhất 2 nghiệm thực, trong đó có thể có nghiệm bội (nghiệm kép hoặc nghiệm ba).
- (Delta < 0): Phương trình có 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức liên hợp.
.png)
Bài tập áp dụng: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có nghiệm
Dưới đây là một số ví dụ minh họa cách áp dụng công thức delta để giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc 3.
Ví dụ 1
Tìm giá trị của tham số (m) để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực:
[x^3 – 3mx^2 + 3mx – 1 = 0]
Lời giải:
Ta có thể viết lại phương trình thành:
[(x-1)(x^2 + (1-3m)x + 1) = 0]
Phương trình luôn có nghiệm (x = 1). Để phương trình có ít nhất một nghiệm thực, ta cần xét phương trình bậc hai:
[x^2 + (1-3m)x + 1 = 0]
Phương trình này có nghiệm thực khi và chỉ khi biệt thức (Delta’) của nó không âm:
[Delta’ = (1-3m)^2 – 4 geq 0]
[9m^2 – 6m – 3 geq 0]
[3m^2 – 2m – 1 geq 0]
Giải bất phương trình trên, ta được:
[m leq -frac{1}{3} text{ hoặc } m geq 1]
Vậy, phương trình bậc 3 có ít nhất một nghiệm thực khi (m leq -frac{1}{3}) hoặc (m geq 1).
Ví dụ 2
Giải phương trình ((x – 2)(x^2 + mx + m^2 – 3) = 0) và tìm điều kiện để nó có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Ta có hai trường hợp:
- (x – 2 = 0 Rightarrow x = 2)
- (x^2 + mx + m^2 – 3 = 0)
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt, phương trình bậc hai cần có một nghiệm kép hoặc một nghiệm bằng 2.
-
Trường hợp 1: Nghiệm kép
(Delta = m^2 – 4(m^2 – 3) = 0)
(-3m^2 + 12 = 0)
(m = pm 2)
-
Trường hợp 2: Một nghiệm bằng 2
Thay (x = 2) vào phương trình bậc hai:
(2^2 + 2m + m^2 – 3 = 0)
(m^2 + 2m + 1 = 0)
(m = -1)
Khi (m = -1), phương trình bậc hai trở thành (x^2 – x – 2 = 0), có hai nghiệm phân biệt là (x = 2) và (x = -1). Do đó, phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt (2 và -1).
Vậy, (m = 2), (m = -2) hoặc (m = -1) thì phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3
Tìm giá trị của (m) để phương trình ((x – 1)(x^2 – 2(m + 1)x – 2) = 0) có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Ta có hai trường hợp:
- (x – 1 = 0 Rightarrow x = 1)
- (x^2 – 2(m + 1)x – 2 = 0)
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, phương trình bậc hai cần có hai nghiệm phân biệt khác 1.
-
Điều kiện 1: Hai nghiệm phân biệt
(Delta’ = (m + 1)^2 + 2 > 0) (luôn đúng với mọi (m))
-
Điều kiện 2: Nghiệm khác 1
Thay (x = 1) vào phương trình bậc hai:
(1 – 2(m + 1) – 2 neq 0)
(m neq -frac{3}{2})
Vậy, (m neq -frac{3}{2}) thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4
Tìm (m) để phương trình ((2x – 1)(x^2 – mx + 3m – 5) = 0) có đúng 1 nghiệm.
Lời giải:
Ta có hai trường hợp:
- (2x – 1 = 0 Rightarrow x = frac{1}{2})
- (x^2 – mx + 3m – 5 = 0)
Để phương trình có đúng 1 nghiệm, phương trình bậc hai phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (x = frac{1}{2}).
-
Trường hợp 1: Phương trình bậc hai vô nghiệm
(Delta = m^2 – 4(3m – 5) < 0)
(m^2 – 12m + 20 < 0)
(2 < m < 10)
-
Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm kép (x = frac{1}{2})
Thay (x = frac{1}{2}) vào phương trình bậc hai:
(frac{1}{4} – frac{m}{2} + 3m – 5 = 0)
(m = frac{19}{10})
Kiểm tra lại với điều kiện phương trình có đúng 1 nghiệm, ta thấy (m = frac{19}{10}) thỏa mãn (vì khi đó phương trình bậc hai có nghiệm kép là (x = frac{1}{2})).
Vậy, (2 < m < 10) hoặc (m = frac{19}{10}) thì phương trình có đúng 1 nghiệm.
Ví dụ 5
Tìm (m) để phương trình ((x + 1)(x^2 + 2mx + 4) = 0) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3.
Lời giải:
Ta có hai trường hợp:
- (x + 1 = 0 Rightarrow x = -1)
- (x^2 + 2mx + 4 = 0)
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, phương trình bậc hai cần có hai nghiệm phân biệt khác -1. Gọi hai nghiệm đó là (x_1) và (x_2).
-
Điều kiện 1: Hai nghiệm phân biệt
(Delta’ = m^2 – 4 > 0)
(m < -2 text{ hoặc } m > 2)
-
Điều kiện 2: Nghiệm khác -1
Thay (x = -1) vào phương trình bậc hai:
(1 – 2m + 4 neq 0)
(m neq frac{5}{2})
-
Điều kiện 3: Tổng các nghiệm bằng 3
(-1 + x_1 + x_2 = 3)
Áp dụng định lý Viète cho phương trình bậc hai: (x_1 + x_2 = -2m)
(-1 – 2m = 3)
(m = -2)
Kết hợp các điều kiện, ta thấy (m = -2) thỏa mãn tất cả các điều kiện. Vậy, (m = -2) thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3.
Tóm tắt
Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng việc sử dụng delta của phương trình bậc 3 (và các phương trình bậc hai liên quan) là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán về điều kiện nghiệm của phương trình. Nắm vững công thức và cách áp dụng sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.
