Phương trình bậc 3 là một chủ đề quan trọng trong toán học, đặc biệt khi xét đến các điều kiện để phương trình có nghiệm thực. Bài viết này sẽ đi sâu vào các khái niệm liên quan đến “Delta Bậc 3”, điều kiện có nghiệm, cùng với các bài tập minh họa chi tiết.
Điều kiện để phương trình bậc 3 có nghiệm thực
Phương trình bậc 3 tổng quát có dạng:
ax³ + bx² + cx + d = 0Việc xác định số lượng và tính chất của nghiệm phương trình này phụ thuộc vào biểu thức delta (Δ), thường được gọi là delta bậc 3, hoặc biệt thức. Công thức tính delta (Δ) như sau:
Δ = 18abcd - 4b³d + b²c² - 4ac³ - 27a²d²Dựa vào giá trị của delta (Δ), ta có thể xác định số lượng nghiệm thực của phương trình bậc 3:
- Δ > 0: Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
- Δ = 0: Phương trình có ít nhất 2 nghiệm thực, trong đó có thể có nghiệm bội (nghiệm kép hoặc nghiệm ba).
- Δ < 0: Phương trình có 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức liên hợp.
.png)
Bài tập áp dụng: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có nghiệm
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng điều kiện delta (Δ), chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1:
Cho phương trình:
x³ - 3mx² + 3mx - 1 = 0Tìm các giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm thực.
Lời giải:
Trong trường hợp này, việc tính trực tiếp delta (Δ) có thể phức tạp. Thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng phương pháp khác để tìm điều kiện cho m. Nhận thấy rằng phương trình có thể được viết lại như sau:
(x - 1)³ + 3m(x - 1)x = 0Xét hàm số f(x) = x³ – 3mx² + 3mx – 1. Để phương trình có ít nhất một nghiệm thực, đồ thị hàm số f(x) phải cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Chúng ta có thể phân tích đạo hàm của hàm số để tìm điểm cực trị và xác định khoảng giá trị của m.
f'(x) = 3x² - 6mx + 3m = 0Giải phương trình bậc hai này để tìm điểm cực trị và sau đó, sử dụng điều kiện f(x₁) * f(x₂) ≤ 0, trong đó x₁ và x₂ là các nghiệm của phương trình f'(x) = 0.
Ví dụ 2:
Giải phương trình (x – 2)(x² + mx + m² – 3) = 0 và tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình đã cho có thể phân tách thành hai phương trình nhỏ:
- x – 2 = 0 => x = 2
- x² + mx + m² – 3 = 0
Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt, phương trình bậc hai phải có một trong hai trường hợp sau:
- Có nghiệm kép và nghiệm này khác 2.
- Có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm là 2.
Xét biệt thức của phương trình bậc hai: Δ = m² – 4(m² – 3) = -3m² + 12.
- Trường hợp 1: Δ = 0 => m = ±2. Kiểm tra xem nghiệm kép có khác 2 không.
- Trường hợp 2: Thay x = 2 vào phương trình bậc hai: 4 + 2m + m² – 3 = 0 => m² + 2m + 1 = 0 => (m + 1)² = 0 => m = -1.
Vậy, các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt là m = 2, m = -2, và m = -1.
Ví dụ 3:
Tìm giá trị của m để phương trình (x – 1)(x² – 2(m + 1)x – 2) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Tương tự ví dụ 2, ta có hai phương trình:
- x – 1 = 0 => x = 1
- x² – 2(m + 1)x – 2 = 0
Để có 3 nghiệm phân biệt, phương trình bậc hai phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này đòi hỏi:
- Biệt thức Δ > 0.
- Nghiệm x = 1 không phải là nghiệm của phương trình bậc hai.
Tính Δ: Δ = [2(m + 1)]² + 8 = 4(m² + 2m + 3). Vì m² + 2m + 3 luôn dương với mọi m, Δ > 0.
Thay x = 1 vào phương trình bậc hai: 1 – 2(m + 1) – 2 = 0 => m = -3/2.
Vậy, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi m ≠ -3/2.
Tổng kết
Hiểu rõ về delta bậc 3 và các điều kiện liên quan đến nghiệm của phương trình bậc 3 là rất quan trọng trong toán học. Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập các bài tập, bạn có thể giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chủ đề này.
